与えられた二次関数 $y = -x^2 + 3x + 1$ の最大値または最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた二次関数 $y = -x^2 + 3x + 1$ の最大値または最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

二次関数の最大値または最小値を求めるには、平方完成を行います。

まず、$y = -x^2 + 3x + 1$ を $x$ の項でまとめます。

$y = -(x^2 - 3x) + 1$

次に、括弧の中を平方完成します。$x^2 - 3x$ を平方完成するには、$(\frac{-3}{2})^2 = \frac{9}{4}$ を加えます。ただし、括弧の外に $-1$ があるので、実際には $-\frac{9}{4}$ を加えることになります。

$y = -(x^2 - 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}) + 1$

$y = -(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4} + 1$

定数項をまとめます。

$y = -(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4} + \frac{4}{4}$

$y = -(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{13}{4}$

この式から、頂点の座標は $(\frac{3}{2}, \frac{13}{4})$ であり、$x^2$ の係数が負なので、上に凸のグラフになります。したがって、最大値は $\frac{13}{4}$ です。

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{13}{4}$