$a$ を実数の定数とするとき、2次関数 $y = x^2 - 4x + 5$ の $0 \le x \le a$ における最大値と最小値を、以下の $a$ の範囲でそれぞれ求めよ。 (i) $0 < a < 2$ (ii) $2 < a < 4$ (iii) $a > 4$

1. 問題の内容

$a$ を実数の定数とするとき、2次関数 $y = x^2 - 4x + 5$ の $0 \le x \le a$ における最大値と最小値を、以下の $a$ の範囲でそれぞれ求めよ。

(i) $0 < a < 2$

(ii) $2 < a < 4$

(iii) $a > 4$

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 4x + 5 = (x - 2)^2 + 1$

このグラフは、頂点が $(2, 1)$ の下に凸な放物線です。

(i) $0 < a < 2$ のとき

定義域 $0 \le x \le a$ は頂点 $x=2$ を含みません。

この範囲での最小値は $x=a$ のときで、$y = (a-2)^2 + 1 = a^2 - 4a + 5$

最大値は $x=0$ のときで、$y = 0^2 - 4(0) + 5 = 5$

(ii) $2 < a < 4$ のとき

定義域 $0 \le x \le a$ は頂点 $x=2$ を含みます。

この範囲での最小値は $x=2$ のときで、$y = (2-2)^2 + 1 = 1$

最大値は $x=0$ のときで、$y = 0^2 - 4(0) + 5 = 5$

(iii) $a > 4$ のとき

定義域 $0 \le x \le a$ は頂点 $x=2$ を含みます。

この範囲での最小値は $x=2$ のときで、$y = (2-2)^2 + 1 = 1$

最大値は $x=a$ のときで、$y = (a-2)^2 + 1 = a^2 - 4a + 5$

3. 最終的な答え

(i) $0 < a < 2$ のとき

最大値: 5

最小値: $a^2 - 4a + 5$

(ii) $2 < a < 4$ のとき

最大値: 5

最小値: 1

(iii) $a > 4$ のとき

最大値: $a^2 - 4a + 5$

最小値: 1