連立一次方程式 $\begin{cases} kx - 2y = 0 \\ 3x + (k+1)y = 0 \end{cases}$ が自明な解（つまり $x=0, y=0$）以外の解を持つとき、$k>0$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

連立一次方程式 $\begin{cases} kx - 2y = 0 \\ 3x + (k+1)y = 0 \end{cases}$ が自明な解（つまり $x=0, y=0$）以外の解を持つとき、$k>0$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

連立一次方程式が自明な解以外の解を持つための条件は、係数行列の行列式が0になることです。つまり、

$$\begin{vmatrix} k & -2 \\ 3 & k+1 \end{vmatrix} = 0$$

これを解きます。

$$k(k+1) - (-2)(3) = 0$$

$$k^2 + k + 6 = 0$$

この二次方程式を解くと、

$$k = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(6)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 24}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-23}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{23}}{2}$$

これは実数解を持たないため、問題文に誤りがあるか、問題の条件が変わっている可能性があります。

もし、問題が連立一次方程式

$\begin{cases} kx - 2y = 0 \\ 3x + (k+1)y = 0 \end{cases}$ が自明な解以外の解を持つとき、$k$ の値を求める問題である場合を考えます。

連立一次方程式が自明な解以外の解を持つための条件は、係数行列の行列式が0になることです。

$$\begin{vmatrix} k & -2 \\ 3 & k+1 \end{vmatrix} = 0$$

$$k(k+1) - (-2)(3) = 0$$

$$k^2 + k + 6 = 0$$

問題が $kx - 2y = 0$ と $3x + (k+1)y = 0$ の表す直線が一致する場合、つまり一方の式が他方の式の定数倍になる場合を考えます。

$k/3 = -2/(k+1)$ より、$k(k+1) = -6$ なので、$k^2 + k + 6 = 0$。

これの実数解は存在しないので、問題文が誤りか、前提が違う可能性があります。

問題文が「自明でない解を持つとき」ではなく、「少なくとも1つの解を持つ」場合を考えると、どのような $k$ の値でも解を持つので、これでは答えられません。

問題文が「$\begin{cases} kx - 2y = 0 \\ 3x + (k+1)y = 0 \end{cases}$ が自明な解以外を持つとき、$k>0$ の値は $\Box$ である。」の「$\Box$」にあてはまるものを選択肢から選べ、という問題だった場合、二次方程式 $k^2+k+6=0$ の解が実数解を持たないため、この問題の意図する答えは存在しないことになります。

しかしながら、もし問題がタイプミスで $3x + (k-1)y = 0$ であれば、

$\begin{vmatrix} k & -2 \\ 3 & k-1 \end{vmatrix} = 0$

$k(k-1) - (-2)(3) = 0$

$k^2 - k + 6 = 0$

となり、これも実数解を持たないため、依然として解なしとなります。

もし問題がタイプミスで $3x + (k-4)y = 0$ であれば、

$\begin{vmatrix} k & -2 \\ 3 & k-4 \end{vmatrix} = 0$

$k(k-4) - (-2)(3) = 0$

$k^2 - 4k + 6 = 0$

となり、これも実数解を持たないため、依然として解なしとなります。

もし問題が $kx - 2y = 0$ と $3x + (k+1)y = 0$ でなく、$kx - 2y = 0$ と $3x + (k-4)y = 0$ であった場合、$k>0$ という条件がなくても、$k^2-4k+6=0$ となり、実数解を持ちません。

もし問題が $kx - 2y = 0$ と $3x + ky = 0$ だった場合、

$\begin{vmatrix} k & -2 \\ 3 & k \end{vmatrix} = 0$

$k^2 + 6 = 0$

となり、実数解を持ちません。

もし問題が $kx - 2y = 0$ と $3x + (k+1)y = 0$ で、$k^2 + k - 6 = 0$ だった場合、

$(k+3)(k-2) = 0$

$k = -3, 2$

$k > 0$ より、$k = 2$ が答えとなります。

3. 最終的な答え

問題文に誤植がない限り、答えはありません。もし問題文に $k^2 + k + 6 = 0$ ではなく、$k^2 + k - 6 = 0$ となるようなタイプミスがあった場合、かつ問題が $k > 0$ の場合、$k = 2$ が答えとなります。