与えられた連立一次方程式 $4x - 5y - 2z = -8$ $-4x + 4y + z = -1$ $2x + y + z = 17$ について、$x$ の値をクラメルの公式を用いて $\frac{\Delta}{\left| A \right|}$ の形で表したときの値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式

$4x - 5y - 2z = -8$

$-4x + 4y + z = -1$

$2x + y + z = 17$

について、$x$ の値をクラメルの公式を用いて $\frac{\Delta}{\left| A \right|}$ の形で表したときの値を求める問題です。

2. 解き方の手順

クラメルの公式を使って、$x$ の値を求めます。

まず、係数行列 $A$ の行列式 $\left| A \right|$ を計算します。

$A = \begin{pmatrix} 4 & -5 & -2 \\ -4 & 4 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

$\left| A \right| = 4(4 \cdot 1 - 1 \cdot 1) - (-5)(-4 \cdot 1 - 1 \cdot 2) + (-2)(-4 \cdot 1 - 4 \cdot 2)$

$= 4(4-1) + 5(-4-2) - 2(-4-8)$

$= 4(3) + 5(-6) - 2(-12)$

$= 12 - 30 + 24 = 6$

次に、$\Delta$ を計算します。$\Delta$ は、行列 $A$ の第一列を定数項に置き換えた行列の行列式です。

$\Delta = \begin{vmatrix} -8 & -5 & -2 \\ -1 & 4 & 1 \\ 17 & 1 & 1 \end{vmatrix}$

$\Delta = -8(4 \cdot 1 - 1 \cdot 1) - (-5)(-1 \cdot 1 - 1 \cdot 17) + (-2)(-1 \cdot 1 - 4 \cdot 17)$

$= -8(4-1) + 5(-1-17) - 2(-1-68)$

$= -8(3) + 5(-18) - 2(-69)$

$= -24 - 90 + 138 = 24$

したがって、$x = \frac{\Delta}{\left| A \right|} = \frac{24}{6} = 4$

3. 最終的な答え

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