与えられた連立一次方程式 $ \begin{cases} 4x - 5y - 2z = -8 \\ -4x + 4y + z = -1 \\ 2x + y + z = 17 \end{cases} $ に対して、$y$ の値をクラメルの公式を用いて求め、$\frac{\Delta_2}{|A|} = \boxed{フ}$ に当てはまる数字を答える問題です。ここで $|A|$ は係数行列の行列式、$\Delta_2$ は $y$ に関する行列式です。

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式

$\begin{cases} 4x - 5y - 2z = -8 \\ -4x + 4y + z = -1 \\ 2x + y + z = 17 \end{cases}$

に対して、$y$ の値をクラメルの公式を用いて求め、$\frac{\Delta_2}{|A|} = \boxed{フ}$ に当てはまる数字を答える問題です。ここで $|A|$ は係数行列の行列式、$\Delta_2$ は $y$ に関する行列式です。

2. 解き方の手順

まず、係数行列 $A$ とその行列式 $|A|$ を求めます。

$A = \begin{pmatrix} 4 & -5 & -2 \\ -4 & 4 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

$|A| = 4(4 \cdot 1 - 1 \cdot 1) - (-5)(-4 \cdot 1 - 1 \cdot 2) + (-2)(-4 \cdot 1 - 4 \cdot 2)$

$|A| = 4(4 - 1) + 5(-4 - 2) - 2(-4 - 8)$

$|A| = 4(3) + 5(-6) - 2(-12)$

$|A| = 12 - 30 + 24$

$|A| = 6$

次に、$\Delta_2$ を求めます。これは、$A$ の $y$ に関する列を定数項で置き換えた行列の行列式です。

$\Delta_2 = \begin{vmatrix} 4 & -8 & -2 \\ -4 & -1 & 1 \\ 2 & 17 & 1 \end{vmatrix}$

$\Delta_2 = 4(-1 \cdot 1 - 1 \cdot 17) - (-8)(-4 \cdot 1 - 1 \cdot 2) + (-2)(-4 \cdot 17 - (-1) \cdot 2)$

$\Delta_2 = 4(-1 - 17) + 8(-4 - 2) - 2(-68 + 2)$

$\Delta_2 = 4(-18) + 8(-6) - 2(-66)$

$\Delta_2 = -72 - 48 + 132$

$\Delta_2 = 12$

したがって、$y = \frac{\Delta_2}{|A|} = \frac{12}{6} = 2$

3. 最終的な答え

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