正の数 $x, y$ が $(\log_2 x)^2 + (\log_2 y)^2 \le \log_2 \frac{x^2}{2\sqrt{2}y^2}$ を満たしながら動くとき、以下の問いに答えます。 (1) $\log_2 x = X, \log_2 y = Y$ として、与えられた不等式を $X$ と $Y$ で表します。 (2) 点 $(X, Y)$ の存在範囲を図示します。 (3) $xy$ の最大値と、そのときの $x$ と $y$ の値を求めます。

1. 問題の内容

正の数 $x, y$ が $(\log_2 x)^2 + (\log_2 y)^2 \le \log_2 \frac{x^2}{2\sqrt{2}y^2}$ を満たしながら動くとき、以下の問いに答えます。

(1) $\log_2 x = X, \log_2 y = Y$ として、与えられた不等式を $X$ と $Y$ で表します。

(2) 点 $(X, Y)$ の存在範囲を図示します。

(3) $xy$ の最大値と、そのときの $x$ と $y$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\log_2 x = X, \log_2 y = Y$ を与えられた不等式に代入します。

$(\log_2 x)^2 + (\log_2 y)^2 \le \log_2 \frac{x^2}{2\sqrt{2}y^2}$ は、

$X^2 + Y^2 \le \log_2 x^2 - \log_2 (2\sqrt{2}y^2) = 2\log_2 x - (\log_2 2 + \log_2 2^{1/2} + 2\log_2 y)$

$= 2X - (1 + \frac{1}{2} + 2Y) = 2X - 2Y - \frac{3}{2}$

よって、$X^2 + Y^2 \le 2X - 2Y - \frac{3}{2}$

(2) 不等式を整理すると、

$X^2 - 2X + Y^2 + 2Y \le -\frac{3}{2}$

$(X^2 - 2X + 1) + (Y^2 + 2Y + 1) \le -\frac{3}{2} + 1 + 1$

$(X - 1)^2 + (Y + 1)^2 \le \frac{1}{2}$

これは、中心が $(1, -1)$ で半径が $\frac{1}{\sqrt{2}}$ の円の内部（境界を含む）を表します。

(3) $xy$ の最大値を求めます。

$\log_2 (xy) = \log_2 x + \log_2 y = X + Y$

$k = X + Y$ とおくと、$Y = -X + k$

これを円の方程式 $(X - 1)^2 + (Y + 1)^2 = \frac{1}{2}$ に代入すると、

$(X - 1)^2 + (-X + k + 1)^2 = \frac{1}{2}$

$X^2 - 2X + 1 + X^2 - 2(k + 1)X + (k + 1)^2 = \frac{1}{2}$

$2X^2 - 2X - 2(k + 1)X + 1 + (k + 1)^2 - \frac{1}{2} = 0$

$2X^2 - (2k + 4)X + k^2 + 2k + \frac{3}{2} = 0$

判別式を $D$ とすると、$D = (2k + 4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (k^2 + 2k + \frac{3}{2}) = 0$

$4k^2 + 16k + 16 - 8k^2 - 16k - 12 = 0$

$-4k^2 + 4 = 0$

$k^2 = 1$

$k = \pm 1$

$X + Y$ の最大値は $k = 1$

$\log_2 (xy) = 1$

$xy = 2^1 = 2$

このとき、$2X^2 - 6X + \frac{7}{2} = 0$

$4X^2 - 12X + 7 = 0$

$(2X - 1)(2X - 7) = 0$

$X = \frac{1}{2}, \frac{7}{2}$

$X = \frac{1}{2}$ のとき、$Y = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$X = \frac{7}{2}$ のとき、$Y = 1 - \frac{7}{2} = -\frac{5}{2}$

$(X - 1)^2 + (Y + 1)^2 = \frac{1}{2}$ に代入すると、

$(\frac{1}{2} - 1)^2 + (\frac{1}{2} + 1)^2 = (-\frac{1}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{9}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} \ne \frac{1}{2}$

$(\frac{7}{2} - 1)^2 + (-\frac{5}{2} + 1)^2 = (\frac{5}{2})^2 + (-\frac{3}{2})^2 = \frac{25}{4} + \frac{9}{4} = \frac{34}{4} = \frac{17}{2} \ne \frac{1}{2}$

円と直線の接点を求める。

$X - 1 = t \cos \theta, Y + 1 = t \sin \theta$

$t = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$X = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta, Y = -1 + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta$

$X + Y = 1$ より、

$1 + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta - 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta = 1$

$\frac{1}{\sqrt{2}} (\cos \theta + \sin \theta) = 1$

$\cos \theta + \sin \theta = \sqrt{2}$

$\sqrt{2} \sin (\theta + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}$

$\sin (\theta + \frac{\pi}{4}) = 1$

$\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$

$\theta = \frac{\pi}{4}$

$X = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

$Y = -1 + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = -1 + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$

$x = 2^{3/2} = 2\sqrt{2}, y = 2^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

3. 最終的な答え

(1) $X^2 + Y^2 \le 2X - 2Y - \frac{3}{2}$

(2) 中心 $(1, -1)$, 半径 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ の円の内部（境界を含む）

(3) $xy$ の最大値は $2$, そのとき $x = 2\sqrt{2}, y = \frac{1}{\sqrt{2}}$