3次正方行列 $A$ の行列式をサラスの公式で展開したとき、与えられた各項の係数を求めます。ただし、その項が行列式の展開式に出てこない場合は $0$ と答えます。

1. 問題の内容

3次正方行列 $A$ の行列式をサラスの公式で展開したとき、与えられた各項の係数を求めます。ただし、その項が行列式の展開式に出てこない場合は $0$ と答えます。

2. 解き方の手順

3次正方行列 $A$ の行列式はサラスの公式で次のように展開できます。

$\det(A) = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}$

各項について、サラスの公式の展開式と比較し、係数を決定します。

1. $a_{31}a_{22}a_{13} = a_{13}a_{22}a_{31}$　この項は上記の展開式の中に $-a_{13}a_{22}a_{31}$ として含まれているので、係数は $-1$ です。

2. $a_{11}a_{32}a_{23} = a_{11}a_{23}a_{32}$　この項は上記の展開式の中に $-a_{11}a_{23}a_{32}$ として含まれているので、係数は $-1$ です。

3. $a_{21}a_{32}a_{13} = a_{13}a_{21}a_{32}$　この項は上記の展開式の中に $a_{13}a_{21}a_{32}$ として含まれているので、係数は $1$ です。

3. 最終的な答え

1. $-1$

2. $-1$

3. $1$