2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$) の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とする。 $\alpha = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$, $\beta = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ のとき、以下の問いに答える。 (1) $\frac{c}{a}$ を求めよ。 (2) $a = 2$ のとき、もとの2次方程式を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$) の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とする。

$\alpha = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$, $\beta = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ のとき、以下の問いに答える。

(1) $\frac{c}{a}$ を求めよ。

(2) $a = 2$ のとき、もとの2次方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式の解と係数の関係より、$\alpha \beta = \frac{c}{a}$ である。したがって、$\alpha$ と $\beta$ の積を計算すれば $\frac{c}{a}$ が求まる。

$\alpha \beta = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

$\alpha \beta = \frac{(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})}{4}$

$\alpha \beta = \frac{1 - 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

したがって、$\frac{c}{a} = -\frac{1}{2}$

(2) 2次方程式の解と係数の関係より、$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ である。$\alpha + \beta$ を計算すると、

$\alpha + \beta = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} + \frac{1 - \sqrt{3}}{2} = \frac{1 + \sqrt{3} + 1 - \sqrt{3}}{2} = \frac{2}{2} = 1$

よって、$-\frac{b}{a} = 1$ となる。$a = 2$ のとき、$-\frac{b}{2} = 1$ より $b = -2$ である。

(1)より $\frac{c}{a} = -\frac{1}{2}$ なので、$a = 2$ のとき、$\frac{c}{2} = -\frac{1}{2}$ より $c = -1$ である。

したがって、もとの2次方程式は、$2x^2 - 2x - 1 = 0$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{c}{a} = -\frac{1}{2}$

(2) $2x^2 - 2x - 1 = 0$