等比数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める問題です。具体的には、以下の2つの数列について $S_n$ を求めます。 (1) 初項 3、公比 -2 (2) 一般項が $-4 \cdot 3^n$

1. 問題の内容

等比数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める問題です。具体的には、以下の2つの数列について $S_n$ を求めます。

(1) 初項 3、公比 -2

(2) 一般項が $-4 \cdot 3^n$

2. 解き方の手順

(1) 初項 $a=3$、公比 $r=-2$ の等比数列の和 $S_n$ を求める。

等比数列の和の公式は、 $r \neq 1$ のとき、

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

これに $a=3$ と $r=-2$ を代入すると、

$S_n = \frac{3(1-(-2)^n)}{1-(-2)} = \frac{3(1-(-2)^n)}{3} = 1 - (-2)^n$

(2) 一般項が $a_n = -4 \cdot 3^n$ の等比数列の和 $S_n$ を求める。

まず、初項 $a$ と公比 $r$ を求める。

初項は $n=1$ のときなので、$a_1 = -4 \cdot 3^1 = -12$

公比は $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ で求められるので、

$r = \frac{-4 \cdot 3^{n+1}}{-4 \cdot 3^n} = \frac{3^{n+1}}{3^n} = 3$

等比数列の和の公式は、$r \neq 1$ のとき、

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

これに $a=-12$ と $r=3$ を代入すると、

$S_n = \frac{-12(1-3^n)}{1-3} = \frac{-12(1-3^n)}{-2} = 6(1-3^n) = 6 - 6 \cdot 3^n$

3. 最終的な答え

(1) 初項 3、公比 -2 の等比数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$:

$S_n = 1 - (-2)^n$

(2) 一般項が $-4 \cdot 3^n$ の等比数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$:

$S_n = 6 - 6 \cdot 3^n$