与えられた等比数列の初項から第$n$項までの和$S_n$を求める問題です。具体的には、次の2つのケースについて$S_n$を求めます。 (2) 初項が2、公比が$\sqrt{3}$ (4) 一般項が$-4 \cdot 3^n$

1. 問題の内容

与えられた等比数列の初項から第$n$項までの和$S_n$を求める問題です。具体的には、次の2つのケースについて$S_n$を求めます。

(2) 初項が2、公比が$\sqrt{3}$

(4) 一般項が$-4 \cdot 3^n$

2. 解き方の手順

(2) 初項が2、公比が$\sqrt{3}$の場合：

等比数列の和の公式は、初項を$a$、公比を$r$とすると、

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ (ただし、$r \neq 1$)

この問題の場合、$a = 2$、$r = \sqrt{3}$なので、

$S_n = \frac{2(1 - (\sqrt{3})^n)}{1 - \sqrt{3}}$

(4) 一般項が$-4 \cdot 3^n$の場合：

一般項が$a_n = -4 \cdot 3^n$で与えられているので、初項$a$と公比$r$を求めます。

初項$a = a_1 = -4 \cdot 3^1 = -12$

公比$r = \frac{a_2}{a_1} = \frac{-4 \cdot 3^2}{-4 \cdot 3^1} = \frac{-36}{-12} = 3$

等比数列の和の公式 $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$に代入します。

$S_n = \frac{-12(1 - 3^n)}{1 - 3}$

$S_n = \frac{-12(1 - 3^n)}{-2}$

$S_n = 6(1 - 3^n)$

3. 最終的な答え

(2) 初項が2、公比が$\sqrt{3}$の場合：

$S_n = \frac{2(1 - (\sqrt{3})^n)}{1 - \sqrt{3}}$

(4) 一般項が$-4 \cdot 3^n$の場合：

$S_n = 6(1 - 3^n)$