与えられた曲線 $y = -x^3 + x^2 + 1$ 上の点 $(1, 1)$ における接線の方程式を求めます。

1. 問題の内容

与えられた曲線 $y = -x^3 + x^2 + 1$ 上の点 $(1, 1)$ における接線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

ステップ1：与えられた曲線を微分して、導関数を求めます。導関数は接線の傾きを表します。

$y = -x^3 + x^2 + 1$ を $x$ で微分すると、

$\frac{dy}{dx} = -3x^2 + 2x$

となります。

ステップ2：接点 $(1, 1)$ における接線の傾きを求めます。ステップ1で求めた導関数に $x = 1$ を代入します。

$\frac{dy}{dx}|_{x=1} = -3(1)^2 + 2(1) = -3 + 2 = -1$

よって、接線の傾きは $-1$ です。

ステップ3：接線の公式 $y - y_1 = m(x - x_1)$ を用いて、接線の方程式を求めます。ここで、$(x_1, y_1)$ は接点の座標であり、$m$ は接線の傾きです。今回は、$(x_1, y_1) = (1, 1)$ であり、$m = -1$ です。

$y - 1 = -1(x - 1)$

$y - 1 = -x + 1$

$y = -x + 2$

3. 最終的な答え

$y = -x + 2$