関数 $f(x, y) = (y - x^2)(y - 2x^2)$ について、以下の2つの問いに答えます。 (1) 臨界点は原点(0, 0)のみであるが、$f(0, 0)$ は極値ではないことを示す。 (2) $t$ を固定したとき、関数 $F_t(x) = f(x, tx)$ は $x = 0$ で極小となることを示す。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = (y - x^2)(y - 2x^2)$ について、以下の2つの問いに答えます。

(1) 臨界点は原点(0, 0)のみであるが、$f(0, 0)$ は極値ではないことを示す。

(2) $t$ を固定したとき、関数 $F_t(x) = f(x, tx)$ は $x = 0$ で極小となることを示す。

2. 解き方の手順

(1) $f(0, 0)$ が極値でないことを示すには、原点の近くで $f(x, y)$ が正の値も負の値も取ることを示せば良い。

* $y = \frac{3}{2}x^2$ とすると、

$f(x, \frac{3}{2}x^2) = (\frac{3}{2}x^2 - x^2)(\frac{3}{2}x^2 - 2x^2) = (\frac{1}{2}x^2)(-\frac{1}{2}x^2) = -\frac{1}{4}x^4$

となる。これは $x=0$ の近くで負の値を取る。

* $y = 3x^2$ とすると、

$f(x, 3x^2) = (3x^2 - x^2)(3x^2 - 2x^2) = (2x^2)(x^2) = 2x^4$

となる。これは $x=0$ の近くで正の値を取る。

したがって、$f(0, 0) = 0$ は極値ではない。

(2) $F_t(x) = f(x, tx)$ を計算し、$x = 0$ で極小となることを示す。

$F_t(x) = f(x, tx) = (tx - x^2)(tx - 2x^2) = x^2(t - x)(t - 2x) = x^2(t^2 - 3tx + 2x^2) = 2x^4 - 3tx^3 + t^2x^2$

次に、$F_t(x)$ の $x$ に関する微分を計算する。

$F_t'(x) = 8x^3 - 9tx^2 + 2t^2x$

$F_t''(x) = 24x^2 - 18tx + 2t^2$

$x = 0$ での値を計算する。

$F_t'(0) = 0$

$F_t''(0) = 2t^2$

$t = 0$ のとき $F_0(x) = 2x^4$となり、$x=0$で極小。

$t \neq 0$ のとき、$F_t''(0) = 2t^2 > 0$ であるため、$x=0$ で極小となる。

3. 最終的な答え

(1) $f(0, 0)$ は極値ではない。

(2) $F_t(x) = f(x, tx)$ は $x = 0$ で極小となる。