与えられた3つの関数について、全微分を求める問題です。 (1) $z = \frac{y}{x}$ (2) $z = x^y$ ($x > 0$) (3) $z = \sqrt{x^2 + y^2}$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数について、全微分を求める問題です。

(1) $z = \frac{y}{x}$

(2) $z = x^y$ ($x > 0$)

(3) $z = \sqrt{x^2 + y^2}$

2. 解き方の手順

全微分は、$dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy$ で計算できます。各関数について、偏微分を計算し、全微分の公式に代入します。

(1) $z = \frac{y}{x}$ の場合：

$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{y}{x^2}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{x}$

全微分は、

$dz = -\frac{y}{x^2} dx + \frac{1}{x} dy$

(2) $z = x^y$ の場合：

$\frac{\partial z}{\partial x} = yx^{y-1}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = x^y \ln x$

全微分は、

$dz = yx^{y-1} dx + x^y \ln x dy$

(3) $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ の場合：

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + y^2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + y^2}} \cdot 2y = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

全微分は、

$dz = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} dx + \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} dy$

3. 最終的な答え

(1) $dz = -\frac{y}{x^2} dx + \frac{1}{x} dy$

(2) $dz = yx^{y-1} dx + x^y \ln x dy$

(3) $dz = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} dx + \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} dy$