数列 $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \dots + \frac{n}{3^{n-1}}$ の和を求めます。

1. 問題の内容

数列 $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \dots + \frac{n}{3^{n-1}}$ の和を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 与えられた数列 $S$ を書きます。

$S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \dots + \frac{n}{3^{n-1}}$

(2) 両辺に $\frac{1}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{3}S = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + \dots + \frac{n-1}{3^{n-1}} + \frac{n}{3^n}$

(3) $S$ から $\frac{1}{3}S$ を引きます。

$S - \frac{1}{3}S = (1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \dots + \frac{n}{3^{n-1}}) - (\frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + \dots + \frac{n-1}{3^{n-1}} + \frac{n}{3^n})$

$\frac{2}{3}S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{3^{n-1}} - \frac{n}{3^n}$

(4) 等比数列の和の公式を用いて $1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{3^{n-1}}$ を計算します。

$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{3^{n-1}} = \frac{1 - (\frac{1}{3})^n}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1 - (\frac{1}{3})^n}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}(1 - \frac{1}{3^n})$

(5) $\frac{2}{3}S$ を書き換えます。

$\frac{2}{3}S = \frac{3}{2}(1 - \frac{1}{3^n}) - \frac{n}{3^n}$

$\frac{2}{3}S = \frac{3}{2} - \frac{3}{2 \cdot 3^n} - \frac{n}{3^n} = \frac{3}{2} - \frac{3 + 2n}{2 \cdot 3^n}$

$\frac{2}{3}S = \frac{3 \cdot 3^n - 3 - 2n}{2 \cdot 3^n} = \frac{3^{n+1} - 2n - 3}{2 \cdot 3^n}$

(6) $S$ について解きます。

$S = \frac{3}{2} \cdot \frac{3^{n+1} - 2n - 3}{2 \cdot 3^n} = \frac{3(3^{n+1} - 2n - 3)}{4 \cdot 3^n} = \frac{3^{n+2} - 6n - 9}{4 \cdot 3^n}$

(7) 回答の画像の $S$ を計算します。

$S = \frac{3^{n+1} - 2n - 3}{4 \cdot 3^{n-1}}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{3^{n+1} - 2n - 3}{4 \cdot 3^{n-1}}$