与えられた三角関数の方程式 $\sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = -1$ を解き、$\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ を満たす $\theta$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた三角関数の方程式 $\sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = -1$ を解き、$\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ を満たす $\theta$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を $\sin(\theta + \frac{\pi}{4})$ について解きます。

$\sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = -1$

両辺を $\sqrt{2}$ で割ります。

$\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ となる $x$ の一般解は、$x = \frac{5\pi}{4} + 2n\pi$ または $x = \frac{7\pi}{4} + 2n\pi$ ( $n$ は整数)です。

したがって、$\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} + 2n\pi$ または $\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} + 2n\pi$ が成り立ちます。

それぞれの方程式について $\theta$ を解きます。

$\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} + 2n\pi$ の場合、

$\theta = \frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2n\pi = \frac{4\pi}{4} + 2n\pi = \pi + 2n\pi$

$\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} + 2n\pi$ の場合、

$\theta = \frac{7\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2n\pi = \frac{6\pi}{4} + 2n\pi = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$

3. 最終的な答え

$\theta = \pi + 2n\pi$ または $\theta = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$ ( $n$ は整数)