与えられた極限 $\lim_{t\to 0} \frac{(t+1)^2 + (t+1) - 2}{t}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた極限

$\lim_{t\to 0} \frac{(t+1)^2 + (t+1) - 2}{t}$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、分子を整理します。

$(t+1)^2 + (t+1) - 2 = (t^2 + 2t + 1) + (t+1) - 2 = t^2 + 3t + 2 - 2 = t^2 + 3t$

したがって、極限は次のようになります。

$\lim_{t\to 0} \frac{t^2 + 3t}{t}$

$t \neq 0$ のとき、分子と分母を $t$ で割ることができます。

$\lim_{t\to 0} \frac{t(t+3)}{t} = \lim_{t\to 0} (t+3)$

$t$ が $0$ に近づくとき、$t+3$ は $3$ に近づきます。

$\lim_{t\to 0} (t+3) = 0 + 3 = 3$

したがって、極限は $3$ です。

3. 最終的な答え

3