$x, y, z$ が $x+y-2z = -1$ と $2x+y-3z = 2$ を満たすとき、$ax^2 + by^2 + cz^2 = 7$ が常に成り立つような $a, b, c$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$x, y, z$ が $x+y-2z = -1$ と $2x+y-3z = 2$ を満たすとき、$ax^2 + by^2 + cz^2 = 7$ が常に成り立つような $a, b, c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた連立方程式から、$x$ と $y$ を $z$ で表します。

$x+y-2z = -1$ (1)

$2x+y-3z = 2$ (2)

(2) - (1) より、

$x - z = 3$

$x = z + 3$ (3)

(3)を(1)に代入すると、

$(z+3) + y - 2z = -1$

$y - z + 3 = -1$

$y = z - 4$ (4)

(3)と(4)を $ax^2 + by^2 + cz^2 = 7$ に代入すると、

$a(z+3)^2 + b(z-4)^2 + cz^2 = 7$

$a(z^2 + 6z + 9) + b(z^2 - 8z + 16) + cz^2 = 7$

$(a+b+c)z^2 + (6a - 8b)z + (9a + 16b) = 7$

この式が任意の $z$ について成り立つためには、

$a+b+c = 0$ (5)

$6a - 8b = 0$ (6)

$9a + 16b = 7$ (7)

(6) より $6a = 8b$ なので $a = \frac{4}{3}b$ 。

これを(7)に代入すると、

$9(\frac{4}{3}b) + 16b = 7$

$12b + 16b = 7$

$28b = 7$

$b = \frac{1}{4}$

よって $a = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{3}$

(5) より $c = -(a+b) = -(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) = -(\frac{4}{12} + \frac{3}{12}) = -\frac{7}{12}$

3. 最終的な答え

$a = \frac{1}{3}$

$b = \frac{1}{4}$

$c = -\frac{7}{12}$