与えられた12個の二次関数について、定義域における最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた12個の二次関数について、定義域における最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

それぞれの関数について、最小値を求めます。

(1) $y = 2x^2$

定義域が指定されていないため、実数全体が定義域とみなします。

$x=0$ のとき最小値 $y=0$ をとります。

(2) $y = -x^2 + 4$

定義域が指定されていないため、実数全体が定義域とみなします。

上に凸の放物線なので、最小値は存在しません。しかし、問題文が最小値を求める問題なので、定義域が制限されていると仮定して考えます。定義域が実数全体と仮定した場合、下に凸の放物線となるように問題文を修正します。 $y=x^2+4$ なら、$x=0$ のとき最小値 $y=4$をとります。ここでは、定義域が制限されているとみなし、最小値が存在しないと回答します。

(3) $y = x^2$ (-4 ≤ x ≤ -1)

$y=x^2$ は、$x=0$で最小値0をとる下に凸の放物線です。定義域-4 ≤ x ≤ -1では、$x=0$は含まれないため、$x$が定義域の端の値をとるときに$y$が最小値をとる可能性があります。$x=-1$のとき$y=(-1)^2=1$、$x=-4$のとき$y=(-4)^2=16$ なので、$x=-1$のとき最小値 $y=1$ をとります。

(4) $y = x^2$ (-1 ≤ x ≤ 3)

$y=x^2$ は、$x=0$で最小値0をとる下に凸の放物線です。定義域-1 ≤ x ≤ 3では、$x=0$が含まれるため、$x=0$で最小値 $y=0$ をとります。

(5) $y = x^2$ (3 ≤ x ≤ 6)

$y=x^2$ は、$x=0$で最小値0をとる下に凸の放物線です。定義域3 ≤ x ≤ 6では、$x=0$は含まれないため、$x$が定義域の端の値をとるときに$y$が最小値をとる可能性があります。$x=3$のとき$y=3^2=9$、$x=6$のとき$y=6^2=36$ なので、$x=3$のとき最小値 $y=9$ をとります。

(6) $y = -\frac{1}{2}(x-3)^2$ (1 ≤ x ≤ 4)

上に凸の放物線です。頂点は $x=3$ で、$x=3$ は定義域に含まれます。よって$x=3$で最大値 $y=0$ をとります。最小値は定義域の端でとる可能性があります。$x=1$のとき$y=-\frac{1}{2}(1-3)^2 = -\frac{1}{2}(-2)^2 = -2$、$x=4$のとき$y=-\frac{1}{2}(4-3)^2 = -\frac{1}{2}(1)^2 = -\frac{1}{2}$。したがって、$x=1$のとき最小値 $y=-2$ をとります。

(7) $y = -\frac{1}{2}(x-3)^2$ (2 ≤ x ≤ 5)

上に凸の放物線です。頂点は $x=3$ で、$x=3$ は定義域に含まれます。よって$x=3$で最大値 $y=0$ をとります。最小値は定義域の端でとる可能性があります。$x=2$のとき$y=-\frac{1}{2}(2-3)^2 = -\frac{1}{2}(-1)^2 = -\frac{1}{2}$、$x=5$のとき$y=-\frac{1}{2}(5-3)^2 = -\frac{1}{2}(2)^2 = -2$。したがって、$x=5$のとき最小値 $y=-2$ をとります。

(8) $y = (x+1)^2 - 2$ (-4 ≤ x ≤ -2)

下に凸の放物線です。頂点は $x=-1$ で、$x=-1$ は定義域に含まれません。$x$が定義域の端の値をとるときに$y$が最小値をとる可能性があります。$x=-4$のとき$y=(-4+1)^2 - 2 = (-3)^2 - 2 = 9 - 2 = 7$、$x=-2$のとき$y=(-2+1)^2 - 2 = (-1)^2 - 2 = 1 - 2 = -1$。したがって、$x=-2$のとき最小値 $y=-1$ をとります。

(9) $y = (x+1)^2 - 2$ (-2 ≤ x ≤ 0)

下に凸の放物線です。頂点は $x=-1$ で、$x=-1$ は定義域に含まれます。よって$x=-1$で最小値 $y=(-1+1)^2 - 2 = -2$ をとります。

(10) $y = (x+1)^2 - 2$ (0 ≤ x ≤ 2)

下に凸の放物線です。頂点は $x=-1$ で、$x=-1$ は定義域に含まれません。$x$が定義域の端の値をとるときに$y$が最小値をとる可能性があります。$x=0$のとき$y=(0+1)^2 - 2 = 1^2 - 2 = 1 - 2 = -1$、$x=2$のとき$y=(2+1)^2 - 2 = 3^2 - 2 = 9 - 2 = 7$。したがって、$x=0$のとき最小値 $y=-1$ をとります。

(11) $y = x^2 - 4x + 5$ (-4 ≤ x ≤ 4)

$y = (x-2)^2 + 1$ と変形できます。下に凸の放物線で、頂点は $x=2$ で、$x=2$ は定義域に含まれます。よって$x=2$で最小値 $y=1$ をとります。

(12) $y = -x^2 + 4x + 5$ (0 ≤ x ≤ 4)

$y = -(x-2)^2 + 9$ と変形できます。上に凸の放物線で、頂点は $x=2$ で、$x=2$ は定義域に含まれます。よって$x=2$で最大値 $y=9$ をとります。最小値は定義域の端でとる可能性があります。$x=0$のとき$y=-0^2 + 4(0) + 5 = 5$、$x=4$のとき$y=-4^2 + 4(4) + 5 = -16 + 16 + 5 = 5$。したがって、$x=0$または$x=4$のとき最小値 $y=5$ をとります。

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) 最小値は存在しない

(3) 1

(4) 0

(5) 9

(6) -2

(7) -2

(8) -1

(9) -2

(10) -1

(11) 1

(12) 5