2直線 $x=3$ と $y=2$ を漸近線とし、点 $(1,1)$ を通る双曲線をグラフとする関数を $y = \frac{ax-b}{cx+d}$ の形で表す。

1. 問題の内容

2直線 $x=3$ と $y=2$ を漸近線とし、点 $(1,1)$ を通る双曲線をグラフとする関数を $y = \frac{ax-b}{cx+d}$ の形で表す。

2. 解き方の手順

まず、漸近線が $x=3$ と $y=2$ であることから、関数は

$y = \frac{a(x-3)+b}{c(x-3)+d} + 2$ の形になることが予想されます。

変形して与えられた形に近づけます。

$y = \frac{a(x-3)+b+2(c(x-3)+d)}{c(x-3)+d} = \frac{ax-3a+b+2cx-6c+2d}{cx-3c+d}$

$y = \frac{(a+2c)x + (b-3a+2d-6c)}{cx + (d-3c)}$

したがって、$a = a+2c$, $b = 3a-b-2d+6c$, $c=c$, $d = d-3c$ となります。

この関数は$y = \frac{k}{x-3} + 2$ の形で表せることを利用します。ここで、$k$ は定数です。

与えられた点 $(1,1)$ を通ることから、

$1 = \frac{k}{1-3} + 2$

$1 = \frac{k}{-2} + 2$

$-1 = \frac{k}{-2}$

$k = 2$

したがって、$y = \frac{2}{x-3} + 2 = \frac{2+2(x-3)}{x-3} = \frac{2+2x-6}{x-3} = \frac{2x-4}{x-3}$

よって、$a=2$, $b=4$, $c=1$, $d=-3$ となります。

3. 最終的な答え

$y = \frac{2x-4}{x-3}$