xとyは実数とします。以下の(1)から(4)について、左側の命題が右側の命題であるための必要条件、十分条件、必要十分条件のいずれであるかを答える問題です。 (1) $x=y=2$ は $2x - y = 2y - x = 2$ であるための条件 (2) $x=2$ は $x^2 - x - 2 = 0$ であるための条件 (3) $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ は $\triangle ABC \equiv \triangle PQR$ であるための条件 (4) $|x| = 0$ は $x = 0$ であるための条件

1. 問題の内容

xとyは実数とします。以下の(1)から(4)について、左側の命題が右側の命題であるための必要条件、十分条件、必要十分条件のいずれであるかを答える問題です。

(1) $x=y=2$ は $2x - y = 2y - x = 2$ であるための条件

(2) $x=2$ は $x^2 - x - 2 = 0$ であるための条件

(3) $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ は $\triangle ABC \equiv \triangle PQR$ であるための条件

(4) $|x| = 0$ は $x = 0$ であるための条件

2. 解き方の手順

(1)

$x=y=2$のとき、$2x-y = 2(2) - 2 = 2$、$2y-x = 2(2)-2 = 2$であるので、$2x-y = 2y-x = 2$が成り立ちます。

一方、$2x - y = 2y - x = 2$とすると、$2x - y = 2$ かつ $2y - x = 2$ となります。この二つの式を連立方程式として解くと、

$2x - y = 2$

$-x + 2y = 2$

上の式を2倍して、下の式と足すと、

$4x - 2y = 4$

$-x + 2y = 2$

$3x = 6$

$x = 2$

$2(2) - y = 2$

$4 - y = 2$

$y = 2$

よって、$x=y=2$が得られます。したがって、必要十分条件です。

(2)

$x = 2$ ならば、$x^2 - x - 2 = 2^2 - 2 - 2 = 4 - 2 - 2 = 0$ です。よって、$x=2$ は $x^2 - x - 2 = 0$ の十分条件です。

$x^2 - x - 2 = 0$ は $(x-2)(x+1) = 0$ と因数分解できるので、$x=2$ または $x=-1$ です。$x=2$とは限らないので、$x=2$ は $x^2 - x - 2 = 0$ の必要条件ではありません。

したがって、十分条件であるが必要条件ではありません。

(3)

$\triangle ABC \equiv \triangle PQR$ (合同) ならば、$\triangle ABC \sim \triangle PQR$ (相似) です。よって、十分条件です。

$\triangle ABC \sim \triangle PQR$ ならば、対応する角は等しいですが、対応する辺の長さが等しいとは限りません。つまり、合同とは限りません。したがって、必要条件ではありません。

よって、十分条件であるが必要条件ではありません。

(4)

$|x|=0$ ならば $x=0$ です。

$x=0$ ならば $|x|=0$ です。

したがって、必要十分条件です。

3. 最終的な答え

(1) 必要十分条件

(2) 十分条件であるが必要条件ではない

(3) 十分条件であるが必要条件ではない

(4) 必要十分条件