$A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | x + y = 1\}$ と $B = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | x = y^2 - 2y\}$ に対して、 $A \cap B$ を求める。

1. 問題の内容

$A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | x + y = 1\}$ と $B = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | x = y^2 - 2y\}$ に対して、 $A \cap B$ を求める。

2. 解き方の手順

$A \cap B$ は、AとBの両方に属する点の集合である。つまり、$x + y = 1$ かつ $x = y^2 - 2y$ を満たす$(x, y)$を求める。

$x + y = 1$ より、$x = 1 - y$ である。これを$x = y^2 - 2y$ に代入すると、

$1 - y = y^2 - 2y$

$y^2 - y - 1 = 0$

この2次方程式を解く。解の公式より、

$y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}$

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2}$

$y = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

$x = 1 - y$ なので、$y = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ のとき、

$x = 1 - \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{2 - 1 - \sqrt{5}}{2} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

$y = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ のとき、

$x = 1 - \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = \frac{2 - 1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

したがって、 $A \cap B = \{(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}), (\frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2})\}$

3. 最終的な答え

$A \cap B = \{(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}), (\frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2})\}$