与えられた各問題について、空欄に適切な数式または値を入力する問題です。 (1) 平行移動した2次関数を求める。 (2) 2次関数の頂点の座標を求める。 (3) 2次関数の最大値と最小値を求める。 (4) 2次不等式の解を求める。 (5) 2次関数がx軸と共有点を持たないときの定数の範囲を求める。

1. 問題の内容

与えられた各問題について、空欄に適切な数式または値を入力する問題です。

(1) 平行移動した2次関数を求める。

(2) 2次関数の頂点の座標を求める。

(3) 2次関数の最大値と最小値を求める。

(4) 2次不等式の解を求める。

(5) 2次関数がx軸と共有点を持たないときの定数の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $y = -2x^2$ のグラフをx軸方向に3, y軸方向に-4だけ平行移動するので、

$x$ を $x-3$ に、$y$ を $y+4$ に置き換える。

$y+4 = -2(x-3)^2$

$y = -2(x^2 - 6x + 9) - 4$

$y = -2x^2 + 12x - 18 - 4$

$y = -2x^2 + 12x - 22$

(2) $y = -x^2 + 2x + 5$ を平方完成する。

$y = -(x^2 - 2x) + 5$

$y = -(x^2 - 2x + 1 - 1) + 5$

$y = -(x-1)^2 + 1 + 5$

$y = -(x-1)^2 + 6$

頂点の座標は (1, 6)

(3) $y = 2(x-1)^2 - 4$ $(0 \le x \le 3)$

この関数の軸は $x=1$ で、下に凸なグラフである。

$x=0$ のとき、 $y = 2(0-1)^2 - 4 = 2 - 4 = -2$

$x=1$ のとき、 $y = 2(1-1)^2 - 4 = -4$

$x=3$ のとき、 $y = 2(3-1)^2 - 4 = 2(2)^2 - 4 = 8 - 4 = 4$

最大値は4, 最小値は-4

(4) $x(x+2) > 0$

$x < -2$ または $x > 0$

(5) $y = x^2 - kx + 1$ がx軸と共有点をもたない条件は、判別式 $D < 0$

$D = (-k)^2 - 4(1)(1) = k^2 - 4 < 0$

$k^2 < 4$

$-2 < k < 2$

3. 最終的な答え

(1) $y = -2x^2 + 12x - 22$

(2) (1, 6)

(3) 最大値は4, 最小値は-4

(4) $x < -2$ または $x > 0$

(5) $-2 < k < 2$