不等式 $\frac{1}{x-1} < x-1$ を解く。

1. 問題の内容

不等式 $\frac{1}{x-1} < x-1$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{x-1}$ が定義されるためには、$x-1 \neq 0$、つまり $x \neq 1$ である必要がある。

次に、与えられた不等式を $\frac{1}{x-1} - (x-1) < 0$ と変形する。

左辺を通分すると、

$\frac{1 - (x-1)^2}{x-1} < 0$

$\frac{1 - (x^2 - 2x + 1)}{x-1} < 0$

$\frac{1 - x^2 + 2x - 1}{x-1} < 0$

$\frac{-x^2 + 2x}{x-1} < 0$

$\frac{-x(x-2)}{x-1} < 0$

$\frac{x(x-2)}{x-1} > 0$

次に、この不等式の解を求める。

$f(x) = \frac{x(x-2)}{x-1}$ とおく。

$f(x) = 0$ となるのは、$x=0$ または $x=2$ のとき。

また、$x=1$ で定義されない。

したがって、$x=0, 1, 2$ で数直線を区切り、各区間で $f(x)$ の符号を調べる。

- $x<0$ のとき: $x<0$, $x-2<0$, $x-1<0$ より $f(x) = \frac{(-)(-)}{(-)} = \frac{(+)}{(-)} < 0$

- $0<x<1$ のとき: $x>0$, $x-2<0$, $x-1<0$ より $f(x) = \frac{(+)(-)}{(-)} = \frac{(-)}{(-)} > 0$

- $1<x<2$ のとき: $x>0$, $x-2<0$, $x-1>0$ より $f(x) = \frac{(+)(-)}{(+)} = \frac{(-)}{(+)} < 0$

- $x>2$ のとき: $x>0$, $x-2>0$, $x-1>0$ より $f(x) = \frac{(+)(+)}{(+)} = \frac{(+)}{(+)} > 0$

したがって、$\frac{x(x-2)}{x-1} > 0$ となるのは、$0<x<1$ または $x>2$ のときである。

3. 最終的な答え

$0 < x < 1$ または $x > 2$