与えられた数式を簡単にする問題です。数式は次の通りです。 $\frac{bc(b-c)-ca(a-c)+ab(a-b)}{(a-b)(b-c)(a-c)}$

1. 問題の内容

与えられた数式を簡単にする問題です。数式は次の通りです。

$\frac{bc(b-c)-ca(a-c)+ab(a-b)}{(a-b)(b-c)(a-c)}$

2. 解き方の手順

まず、分子を展開します。

$bc(b-c) - ca(a-c) + ab(a-b) = b^2c - bc^2 - ca^2 + c^2a + a^2b - ab^2$

次に、この式を整理します。

$b^2c - bc^2 - ca^2 + c^2a + a^2b - ab^2 = b^2c - ab^2 + a^2b - ca^2 + c^2a - bc^2$

$= b^2(c-a) + a^2(b-c) + c^2(a-b)$

$= -b^2(a-c) - a^2(c-b) + c^2(a-b)$

$= -b^2(a-c) + a^2(b-c) - c^2(b-a)$

ここで、この式が $(a-b)(b-c)(c-a)$ に等しいことを示します。

まず、この式に $a=b$ を代入すると、

$b^2c - bc^2 - cb^2 + c^2b + b^2b - bb^2 = 0$

同様に、$b=c$ や $c=a$ を代入しても 0 になります。

したがって、分子は $(a-b)$, $(b-c)$, $(c-a)$ を因数に持つことがわかります。

3次式なので、

$b^2c - bc^2 - ca^2 + c^2a + a^2b - ab^2 = k(a-b)(b-c)(c-a)$

とおけます。

$a=0$, $b=1$, $c=2$ を代入すると、

$1^2 \times 2 - 1 \times 2^2 - 2 \times 0^2 + 2^2 \times 0 + 0^2 \times 1 - 0 \times 1^2 = k(0-1)(1-2)(2-0)$

$2 - 4 = k(-1)(-1)(2)$

$-2 = 2k$

$k = -1$

したがって、分子は

$b^2c - bc^2 - ca^2 + c^2a + a^2b - ab^2 = -(a-b)(b-c)(c-a) = (a-b)(b-c)(a-c)$

したがって、

$\frac{bc(b-c)-ca(a-c)+ab(a-b)}{(a-b)(b-c)(a-c)} = \frac{-(a-b)(b-c)(c-a)}{(a-b)(b-c)(a-c)} = \frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{(a-b)(b-c)(a-c)} = 1$

3. 最終的な答え

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