与えられた複素数の計算を、オイラーの公式を用いて行う問題です。具体的には、 (1) $(1+i)(\sqrt{3}+i)$ (2) $\frac{-2+2i}{-1+\sqrt{3}i}$ の2つの計算を行います。

1. 問題の内容

与えられた複素数の計算を、オイラーの公式を用いて行う問題です。具体的には、

(1) $(1+i)(\sqrt{3}+i)$

(2) $\frac{-2+2i}{-1+\sqrt{3}i}$

の2つの計算を行います。

2. 解き方の手順

(1) $(1+i)(\sqrt{3}+i)$ の計算

まず、それぞれの複素数を極形式で表します。

$1+i = \sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}}$

$\sqrt{3}+i = 2e^{i\frac{\pi}{6}}$

次に、これらの積を計算します。

$(1+i)(\sqrt{3}+i) = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}} \cdot 2e^{i\frac{\pi}{6}} = 2\sqrt{2}e^{i(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6})} = 2\sqrt{2}e^{i\frac{5\pi}{12}}$

最後に、指数形式から直交形式に戻します。

$2\sqrt{2}e^{i\frac{5\pi}{12}} = 2\sqrt{2}(\cos(\frac{5\pi}{12}) + i\sin(\frac{5\pi}{12}))$

ここで$\cos(\frac{5\pi}{12}) = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$、$\sin(\frac{5\pi}{12}) = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$であるから、

$2\sqrt{2}(\cos(\frac{5\pi}{12}) + i\sin(\frac{5\pi}{12})) = 2\sqrt{2}(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} + i\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}) = \frac{\sqrt{3}-1}{2} \cdot 2 + i \cdot \frac{\sqrt{3}+1}{2} \cdot 2 = (\sqrt{3}-1) + i(\sqrt{3}+1)$

別解として普通に展開すると、

$(1+i)(\sqrt{3}+i) = \sqrt{3} + i + i\sqrt{3} - 1 = (\sqrt{3}-1) + i(\sqrt{3}+1)$

(2) $\frac{-2+2i}{-1+\sqrt{3}i}$ の計算

まず、それぞれの複素数を極形式で表します。

$-2+2i = 2\sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}$

$-1+\sqrt{3}i = 2e^{i\frac{2\pi}{3}}$

次に、これらの商を計算します。

$\frac{-2+2i}{-1+\sqrt{3}i} = \frac{2\sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}}{2e^{i\frac{2\pi}{3}}} = \sqrt{2}e^{i(\frac{3\pi}{4}-\frac{2\pi}{3})} = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{12}}$

最後に、指数形式から直交形式に戻します。

$\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{12}} = \sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{12}) + i\sin(\frac{\pi}{12}))$

ここで$\cos(\frac{\pi}{12}) = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$、$\sin(\frac{\pi}{12}) = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$であるから、

$\sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{12}) + i\sin(\frac{\pi}{12})) = \sqrt{2}(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} + i\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}) = \frac{\sqrt{3}+1}{2} + i\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

別解として分母の有理化を行う。

$\frac{-2+2i}{-1+\sqrt{3}i} = \frac{(-2+2i)(-1-\sqrt{3}i)}{(-1+\sqrt{3}i)(-1-\sqrt{3}i)} = \frac{2 + 2\sqrt{3}i - 2i + 2\sqrt{3}}{1 + 3} = \frac{2+2\sqrt{3} + (2\sqrt{3} - 2)i}{4} = \frac{1+\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}-1}{2}i = \frac{\sqrt{3}+1}{2} + i\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $(\sqrt{3}-1) + i(\sqrt{3}+1)$

(2) $\frac{\sqrt{3}+1}{2} + i\frac{\sqrt{3}-1}{2}$