不等式 $\frac{4x}{2x-1} \ge 2x$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $\frac{4x}{2x-1} \ge 2x$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を整理します。

$\frac{4x}{2x-1} - 2x \ge 0$

左辺を通分します。

$\frac{4x - 2x(2x-1)}{2x-1} \ge 0$

$\frac{4x - 4x^2 + 2x}{2x-1} \ge 0$

$\frac{-4x^2 + 6x}{2x-1} \ge 0$

分子を$-2x$でくくります。

$\frac{-2x(2x - 3)}{2x-1} \ge 0$

両辺に$-1$をかけます。不等号の向きが変わります。

$\frac{2x(2x - 3)}{2x-1} \le 0$

$\frac{x(2x - 3)}{2x-1} \le 0$

$x=0$, $x=\frac{3}{2}$, $x=\frac{1}{2}$ が解の候補です。

数直線を使い、それぞれの区間における不等式の符号を調べます。

- $x < 0$ のとき、$\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$ となり不等式を満たします。

- $0 < x < \frac{1}{2}$ のとき、$\frac{(+)(-)}{(-)} > 0$ となり不等式を満たしません。

- $\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$ のとき、$\frac{(+)(-)}{(+)} < 0$ となり不等式を満たします。

- $x > \frac{3}{2}$ のとき、$\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$ となり不等式を満たしません。

また、$x=0$ と $x = \frac{3}{2}$ は不等式を満たします。ただし、$x=\frac{1}{2}$は分母が0になるため定義されません。

したがって、不等式の解は $x \le 0$ または $\frac{1}{2} < x \le \frac{3}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$x \le 0, \frac{1}{2} < x \le \frac{3}{2}$