双曲線 $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ が、直線 $x=2$ および $y=-1$ を漸近線とし、点 $(3,2)$ を通るとき、$a, b, c, d$ を求める。

1. 問題の内容

双曲線 $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ が、直線 $x=2$ および $y=-1$ を漸近線とし、点 $(3,2)$ を通るとき、$a, b, c, d$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を以下のように変形します。

$y = \frac{ax+b}{cx+d} = \frac{\frac{a}{c}(cx+d) + b - \frac{ad}{c}}{cx+d} = \frac{a}{c} + \frac{b - \frac{ad}{c}}{cx+d}$

$x=2$ が漸近線であることから、$cx+d=0$の解が$x=2$となるため、$2c+d = 0$ すなわち $d=-2c$が成り立ちます。

$y=-1$ が漸近線であることから、$\frac{a}{c} = -1$ すなわち $a=-c$が成り立ちます。

したがって、関数は以下のように書き換えられます。

$y = \frac{-cx+b}{cx-2c} = \frac{-x + \frac{b}{c}}{x-2}$

この双曲線が点 $(3,2)$ を通ることから、

$2 = \frac{-3 + \frac{b}{c}}{3-2} = -3 + \frac{b}{c}$

$\frac{b}{c} = 5$ すなわち $b=5c$が成り立ちます。

したがって、関数は以下のように書き換えられます。

$y = \frac{-cx+5c}{cx-2c} = \frac{-x+5}{x-2}$

ここで、$c$ は 0 でない任意の実数で構いません。

$c=1$ とすると、$a=-1, b=5, c=1, d=-2$ となり、

$y = \frac{-x+5}{x-2}$

が求める関数です。

3. 最終的な答え

$y = \frac{-x+5}{x-2}$