2つの二次方程式 $x^2 - 2ax + a + 6 = 0$ と $x^2 + ax + 2a = 0$ について、以下の条件が成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求めます。 (1) 2つの方程式がともに実数解をもつ。 (2) 2つの方程式の少なくとも一方が実数解をもつ。 (3) 2つの方程式の一方だけが実数解をもつ。

1. 問題の内容

2つの二次方程式 $x^2 - 2ax + a + 6 = 0$ と $x^2 + ax + 2a = 0$ について、以下の条件が成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求めます。

(1) 2つの方程式がともに実数解をもつ。

(2) 2つの方程式の少なくとも一方が実数解をもつ。

(3) 2つの方程式の一方だけが実数解をもつ。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの二次方程式が実数解を持つための条件を求めます。二次方程式が実数解を持つための条件は、判別式 $D \ge 0$ です。

(1) の場合

最初の二次方程式 $x^2 - 2ax + a + 6 = 0$ の判別式を $D_1$ とすると、

$D_1 = (-2a)^2 - 4(1)(a+6) = 4a^2 - 4a - 24 = 4(a^2 - a - 6) = 4(a-3)(a+2)$

$D_1 \ge 0$ より、 $(a-3)(a+2) \ge 0$。よって、$a \le -2$ または $a \ge 3$。

次の二次方程式 $x^2 + ax + 2a = 0$ の判別式を $D_2$ とすると、

$D_2 = a^2 - 4(1)(2a) = a^2 - 8a = a(a-8)$

$D_2 \ge 0$ より、$a(a-8) \ge 0$。よって、$a \le 0$ または $a \ge 8$。

したがって、2つの方程式がともに実数解を持つ条件は、$a \le -2$ または $a \ge 3$ かつ $a \le 0$ または $a \ge 8$。

つまり、$a \le -2$ または $a \ge 8$。

(2) の場合

2つの方程式の少なくとも一方が実数解を持つ条件は、$D_1 \ge 0$ または $D_2 \ge 0$。

つまり、$a \le -2$ または $a \ge 3$ または $a \le 0$ または $a \ge 8$。

これは、$a \le 0$ または $a \ge -2$ または $a \ge 3$または $a \ge 8$となり、結果的に $a \le 0$ または $a \ge -2$ または $a \ge 3$または $a \ge 8$という結果になるため、$a \le -2$ または $a \ge 0$となります。

具体的に書くと、$a \le -2$ または $a \ge 3$ または $a \le 0$ または $a \ge 8$ は、$a \le 0$ の場合、$D_1 \ge 0$ または $D_2 \ge 0$ が成り立つ。 また、$a \ge 0$の場合、$a \ge 3$または$a \ge 8$が成り立つ。

したがって、$a \le 0$ または $a \ge 3$。

(3) の場合

一方だけが実数解を持つということは、$D_1 \ge 0$ かつ $D_2 < 0$ または $D_1 < 0$ かつ $D_2 \ge 0$ が成り立つ必要があります。

(i) $D_1 \ge 0$ かつ $D_2 < 0$ の場合

$a \le -2$ または $a \ge 3$ かつ $0 < a < 8$。

つまり、$3 \le a < 8$ または $-2 \ge a > 0$であり、これはありえないので、 $3 \le a < 8$.

(ii) $D_1 < 0$ かつ $D_2 \ge 0$ の場合

$-2 < a < 3$ かつ $a \le 0$ または $a \ge 8$。

つまり、$-2 < a \le 0$。

したがって、一方だけが実数解を持つ条件は、$-2 < a \le 0$ または $3 \le a < 8$。

3. 最終的な答え

(1) $a \le -2$ または $a \ge 8$

(2) $a \le 0$ または $a \ge 3$

(3) $-2 < a \le 0$ または $3 \le a < 8$