複素数の計算問題です。$\frac{3+2i}{2+i} - \frac{i}{1-2i}$ を計算し、結果を $a+bi$ の形で表します。

1. 問題の内容

複素数の計算問題です。$\frac{3+2i}{2+i} - \frac{i}{1-2i}$ を計算し、結果を $a+bi$ の形で表します。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分数を計算します。

$\frac{3+2i}{2+i}$ の分母と分子に $2-i$ をかけます。

$$\frac{3+2i}{2+i} = \frac{(3+2i)(2-i)}{(2+i)(2-i)} = \frac{6 - 3i + 4i - 2i^2}{4 - i^2} = \frac{6 + i + 2}{4 + 1} = \frac{8+i}{5} = \frac{8}{5} + \frac{1}{5}i$$

次に、$\frac{i}{1-2i}$ の分母と分子に $1+2i$ をかけます。

$$\frac{i}{1-2i} = \frac{i(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)} = \frac{i + 2i^2}{1 - (2i)^2} = \frac{i - 2}{1 + 4} = \frac{-2+i}{5} = -\frac{2}{5} + \frac{1}{5}i$$

したがって、

$$\frac{3+2i}{2+i} - \frac{i}{1-2i} = \left( \frac{8}{5} + \frac{1}{5}i \right) - \left( -\frac{2}{5} + \frac{1}{5}i \right) = \frac{8}{5} + \frac{1}{5}i + \frac{2}{5} - \frac{1}{5}i = \frac{8+2}{5} + \frac{1-1}{5}i = \frac{10}{5} + 0i = 2$$

3. 最終的な答え

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