与えられたそれぞれの問題について、空欄に適切な数または式を記入します。

1. 問題の内容

与えられたそれぞれの問題について、空欄に適切な数または式を記入します。

2. 解き方の手順

(1) 2次関数 $y=-2x^2$ のグラフを $x$ 軸方向に3, $y$ 軸方向に-4だけ平行移動した放物線の方程式を求める。

平行移動の公式より、$x$ 軸方向に $p$, $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動するとき、

$x$ を $x-p$, $y$ を $y-q$ に置き換える。したがって、

$y-(-4) = -2(x-3)^2$

$y = -2(x-3)^2 - 4$

$y = -2(x^2 - 6x + 9) - 4$

$y = -2x^2 + 12x - 18 - 4$

$y = -2x^2 + 12x - 22$

(2) 2次関数 $y = -x^2 + 2x + 5$ のグラフの頂点の座標を求める。

平方完成を行う。

$y = -(x^2 - 2x) + 5$

$y = -(x^2 - 2x + 1 - 1) + 5$

$y = -(x-1)^2 + 1 + 5$

$y = -(x-1)^2 + 6$

よって、頂点の座標は $(1, 6)$

(3) 2次関数 $y = 2(x-1)^2 - 4$ $(0 \le x \le 3)$ の最大値と最小値を求める。

軸は $x=1$ であり、$0 \le x \le 3$ の範囲に含まれる。

$x=1$ のとき $y = -4$

$x=0$ のとき $y = 2(0-1)^2 - 4 = 2 - 4 = -2$

$x=3$ のとき $y = 2(3-1)^2 - 4 = 2(2)^2 - 4 = 8 - 4 = 4$

よって、最大値は4, 最小値は-4

(4) 2次不等式 $x(x+2) > 0$ の解を求める。

$x(x+2) = 0$ となるのは $x=0, -2$

$x < -2$ のとき、例えば $x=-3$ とすると $(-3)(-3+2) = (-3)(-1) = 3 > 0$ なので条件を満たす。

$-2 < x < 0$ のとき、例えば $x=-1$ とすると $(-1)(-1+2) = (-1)(1) = -1 < 0$ なので条件を満たさない。

$x > 0$ のとき、例えば $x=1$ とすると $(1)(1+2) = (1)(3) = 3 > 0$ なので条件を満たす。

したがって、$x < -2$ または $x > 0$

(5) 2次関数 $y = x^2 - kx + 1$ のグラフが $x$ 軸と共有点をもたないときの定数 $k$ の値の範囲を求める。

$x$ 軸と共有点をもたないということは、$x^2 - kx + 1 = 0$ が実数解をもたないということである。

判別式 $D = (-k)^2 - 4(1)(1) = k^2 - 4 < 0$

$k^2 < 4$

$-2 < k < 2$

3. 最終的な答え

(1) $y = -2x^2 + 12x - 22$

(2) $(1, 6)$

(3) 最大値: 4, 最小値: -4

(4) $x < -2$ または $x > 0$

(5) $-2 < k < 2$