関数 $y = \frac{1}{2}x^2$ において、$x$ の変域が $-2 \le x \le 4$ のとき、$y$ の変域を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{2}x^2$ において、$x$ の変域が $-2 \le x \le 4$ のとき、$y$ の変域を求めよ。

2. 解き方の手順

放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ は下に凸のグラフであり、頂点は原点 $(0, 0)$ である。

$x$ の変域 $-2 \le x \le 4$ には $x=0$ が含まれるため、$y$ の最小値は $0$ である。

次に、$y$ の最大値を求める。$x=-2$ と $x=4$ のときの $y$ の値を比較する。

$x=-2$ のとき、$y = \frac{1}{2}(-2)^2 = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$

$x=4$ のとき、$y = \frac{1}{2}(4)^2 = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$

よって、最大値は $8$ である。したがって、$y$ の変域は $0 \le y \le 8$ である。

3. 最終的な答え

$0 \le y \le 8$