放物線 $y = 2x^2 + 8x + 7$ を平行移動して、放物線 $y = 2x^2 - 10x + 14$ に重ねるには、どのように平行移動すればよいかを求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = 2x^2 + 8x + 7$ を平行移動して、放物線 $y = 2x^2 - 10x + 14$ に重ねるには、どのように平行移動すればよいかを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの放物線を平方完成して、頂点の座標を求めます。

一つ目の放物線 $y = 2x^2 + 8x + 7$ について、

\begin{align*}

y &= 2(x^2 + 4x) + 7 \\

&= 2(x^2 + 4x + 4 - 4) + 7 \\

&= 2((x+2)^2 - 4) + 7 \\

&= 2(x+2)^2 - 8 + 7 \\

&= 2(x+2)^2 - 1

\end{align*}

よって、頂点の座標は $(-2, -1)$ です。

次に、二つ目の放物線 $y = 2x^2 - 10x + 14$ について、

\begin{align*}

y &= 2(x^2 - 5x) + 14 \\

&= 2(x^2 - 5x + \frac{25}{4} - \frac{25}{4}) + 14 \\

&= 2((x - \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4}) + 14 \\

&= 2(x - \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{2} + 14 \\

&= 2(x - \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{2} + \frac{28}{2} \\

&= 2(x - \frac{5}{2})^2 + \frac{3}{2}

\end{align*}

よって、頂点の座標は $(\frac{5}{2}, \frac{3}{2})$ です。

頂点 $(-2, -1)$ を $(\frac{5}{2}, \frac{3}{2})$ に移動させる平行移動を考えます。

$x$ 軸方向への移動量は $\frac{5}{2} - (-2) = \frac{5}{2} + 2 = \frac{5}{2} + \frac{4}{2} = \frac{9}{2}$ です。

$y$ 軸方向への移動量は $\frac{3}{2} - (-1) = \frac{3}{2} + 1 = \frac{3}{2} + \frac{2}{2} = \frac{5}{2}$ です。

したがって、$x$ 軸方向に $\frac{9}{2}$、$y$ 軸方向に $\frac{5}{2}$ 平行移動させればよいです。

3. 最終的な答え

$x$ 軸方向に $\frac{9}{2}$、$y$ 軸方向に $\frac{5}{2}$ 平行移動する。