連立不等式 $x^2 + y^2 \le 25$ $(y - 2x - 10)(y + x + 5) \le 0$ の表す領域を $D$ とする。 (1) 領域 $D$ を図示せよ。 (2) 点 $(x, y)$ がこの領域 $D$ を動くとき、$x + 2y$ の最大値 $M$ と最小値 $m$ を求めよ。また、$M, m$ を与える $D$ の点を求めよ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

連立不等式

$x^2 + y^2 \le 25$

$(y - 2x - 10)(y + x + 5) \le 0$

の表す領域を $D$ とする。

(1) 領域 $D$ を図示せよ。

(2) 点 $(x, y)$ がこの領域 $D$ を動くとき、$x + 2y$ の最大値 $M$ と最小値 $m$ を求めよ。また、$M, m$ を与える $D$ の点を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 領域 $D$ の図示

まず、$x^2 + y^2 \le 25$ は、中心が原点 $(0, 0)$、半径が $5$ の円の内部および周を表す。

次に、$(y - 2x - 10)(y + x + 5) \le 0$ を考える。これは、

(i) $y - 2x - 10 \ge 0$ かつ $y + x + 5 \le 0$

(ii) $y - 2x - 10 \le 0$ かつ $y + x + 5 \ge 0$

のいずれかを満たす領域である。

$y - 2x - 10 = 0$ は直線 $y = 2x + 10$ を表し、$y + x + 5 = 0$ は直線 $y = -x - 5$ を表す。

$y \ge 2x + 10$ は直線 $y = 2x + 10$ の上側領域、$y \le -x - 5$ は直線 $y = -x - 5$ の下側領域を表す。

同様に、$y \le 2x + 10$ は直線 $y = 2x + 10$ の下側領域、$y \ge -x - 5$ は直線 $y = -x - 5$ の上側領域を表す。

したがって、領域 $D$ は、円 $x^2 + y^2 = 25$ の内部および周と、(i) または (ii) を満たす領域の共通部分となる。

(2) $x + 2y$ の最大値と最小値

$k = x + 2y$ とおく。これは直線 $y = -\frac{1}{2}x + \frac{k}{2}$ を表す。

この直線が領域 $D$ と共有点を持つような $k$ の最大値と最小値を求める。

直線が円に接するとき、$k$ が最大値または最小値を取る可能性がある。

また、直線の傾きが $-1/2$ であり、領域の境界である直線 $y=-x-5$ とは異なる傾きなので、直線 $y=-x-5$との交点も考慮する。

領域$D$を考慮すると、円$x^2 + y^2 = 25$と$y = -\frac{1}{2}x + \frac{k}{2}$が接する場合を考え、そのときの$k$の値を求める。

円の中心からの距離が半径と等しいことから、

$\frac{|0 + 0 - k/2|}{\sqrt{1 + 1/4}} = 5$

$\frac{|k/2|}{\sqrt{5/4}} = 5$

$\frac{|k/2|}{\sqrt{5}/2} = 5$

$|k| = 5\sqrt{5}$

$k = \pm 5\sqrt{5}$

$y = 2x + 10$ と $x^2 + y^2 = 25$ の交点について：

$x^2 + (2x + 10)^2 = 25$

$x^2 + 4x^2 + 40x + 100 = 25$

$5x^2 + 40x + 75 = 0$

$x^2 + 8x + 15 = 0$

$(x + 3)(x + 5) = 0$

$x = -3, -5$

$x = -3$ のとき $y = 2(-3) + 10 = 4$

$x = -5$ のとき $y = 2(-5) + 10 = 0$

点 $(-3, 4)$ における $x + 2y$ の値は $-3 + 2(4) = 5$

点 $(-5, 0)$ における $x + 2y$ の値は $-5 + 2(0) = -5$

$y = -x - 5$ と $x^2 + y^2 = 25$ の交点について：

$x^2 + (-x - 5)^2 = 25$

$x^2 + x^2 + 10x + 25 = 25$

$2x^2 + 10x = 0$

$2x(x + 5) = 0$

$x = 0, -5$

$x = 0$ のとき $y = -0 - 5 = -5$

$x = -5$ のとき $y = -(-5) - 5 = 0$

点 $(0, -5)$ における $x + 2y$ の値は $0 + 2(-5) = -10$

点 $(-5, 0)$ における $x + 2y$ の値は $-5 + 2(0) = -5$

領域D内における、 $x+2y$の最大値は$5\sqrt{5}$で、最小値は$-10$となる。

$k$が最大となるとき、$k = 5\sqrt{5}$.

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{5\sqrt{5}}{2}$と、$x^2+y^2=25$との接点を求める。

$x^2 + (-\frac{1}{2}x + \frac{5\sqrt{5}}{2})^2 = 25$

$x^2 + \frac{1}{4}x^2 - \frac{5\sqrt{5}}{2}x + \frac{125}{4} = 25$

$\frac{5}{4}x^2 - \frac{5\sqrt{5}}{2}x + \frac{25}{4} = 0$

$x^2 - 2\sqrt{5}x + 5 = 0$

$(x - \sqrt{5})^2 = 0$

$x = \sqrt{5}$

$y = -\frac{1}{2}\sqrt{5} + \frac{5\sqrt{5}}{2} = 2\sqrt{5}$

最大値を与える点は$(\sqrt{5}, 2\sqrt{5})$.

最小値を与える点は $(0, -5)$.

3. 最終的な答え

(1) 領域 $D$ は、円 $x^2 + y^2 \le 25$ の内部および周と、(i) $y \ge 2x + 10$ かつ $y \le -x - 5$ または (ii) $y \le 2x + 10$ かつ $y \ge -x - 5$ を満たす領域の共通部分。

(2) $x + 2y$ の最大値 $M = 5\sqrt{5}$ ($(\sqrt{5}, 2\sqrt{5})$のとき)

$x + 2y$ の最小値 $m = -10$ ($(0, -5)$のとき)