問題は以下の通りです。 (1) 2つの2x2行列 $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} e & f \\ g & h \end{bmatrix}$ に対して、$|AB| = |A||B|$が成り立つことを示し、 (2) $A$が正則行列であるとき、$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$が成り立つことを示し、 (3) 以下の行列式の値を求める。 (1) $D = \begin{vmatrix} 1+ax & 1+ay & 1+az \\ 1+bx & 1+by & 1+bz \\ 1+cx & 1+cy & 1+cz \end{vmatrix}$ (2) $D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ x & y & z \\ 4 & 5 & 6 \end{vmatrix}$ (3) $D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & x \\ 3 & 4 & y \\ 5 & 6 & z \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

(1) 2つの2x2行列 $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} e & f \\ g & h \end{bmatrix}$ に対して、$|AB| = |A||B|$が成り立つことを示し、

(2) $A$が正則行列であるとき、$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$が成り立つことを示し、

(3) 以下の行列式の値を求める。

(1) $D = \begin{vmatrix} 1+ax & 1+ay & 1+az \\ 1+bx & 1+by & 1+bz \\ 1+cx & 1+cy & 1+cz \end{vmatrix}$

(2) $D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ x & y & z \\ 4 & 5 & 6 \end{vmatrix}$

(3) $D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & x \\ 3 & 4 & y \\ 5 & 6 & z \end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

(1)

$AB = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e & f \\ g & h \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ae+bg & af+bh \\ ce+dg & cf+dh \end{bmatrix}$

$|AB| = (ae+bg)(cf+dh) - (af+bh)(ce+dg) = aecf + aedh + bgcf + bgdh - afce - afdg - bhce - bhdg = aedh + bgcf - afdg - bhce$

$|A| = ad - bc$

$|B| = eh - fg$

$|A||B| = (ad-bc)(eh-fg) = adeh - adfg - bceh + bcfg$

$|AB| = |A||B|$ は一般には成り立ちません。問題文が間違っている可能性があります。$|AB| = |A||B|$ は任意のサイズの正方行列に対して成り立つ性質です。

(2)

$AA^{-1} = I$ より、$|AA^{-1}| = |I| = 1$。

$|AA^{-1}| = |A||A^{-1}|$ だから、$|A||A^{-1}| = 1$。

したがって、$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$。

(3)

(1)

$D = \begin{vmatrix} 1+ax & 1+ay & 1+az \\ 1+bx & 1+by & 1+bz \\ 1+cx & 1+cy & 1+cz \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1+bx & 1+by & 1+bz \\ 1+cx & 1+cy & 1+cz \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} ax & ay & az \\ 1+bx & 1+by & 1+bz \\ 1+cx & 1+cy & 1+cz \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ bx & by & bz \\ cx & cy & cz \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} ax & ay & az \\ 1 & 1 & 1 \\ cx & cy & cz \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} ax & ay & az \\ bx & by & bz \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ bx & by & bz \\ cx & cy & cz \end{vmatrix}$

$= a b c \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ x & y & z \end{vmatrix} + abc \begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \end{vmatrix} + abc \begin{vmatrix} x & y & z \\ x & y & z \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ bx & by & bz \\ cx & cy & cz \end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix} 1+ax & 1+ay & 1+az \\ 1+bx & 1+by & 1+bz \\ 1+cx & 1+cy & 1+cz \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ bx & by & bz \\ cx & cy & cz \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} ax & ay & az \\ 1 & 1 & 1 \\ cx & cy & cz \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} ax & ay & az \\ bx & by & bz \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} ax & ay & az \\ bx & by & bz \\ cx & cy & cz \end{vmatrix}$

$= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ bx & by & bz \\ cx & cy & cz \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} ax & ay & az \\ bx & by & bz \\ cx & cy & cz \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} ax & ay & az \\ bx & by & bz \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} ax & ay & az \\ 1 & 1 & 1 \\ cx & cy & cz \end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ bx & by & bz \\ cx & cy & cz \end{vmatrix} = b\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ cx & cy & cz \end{vmatrix}= bc \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ x & y & z \end{vmatrix} = 0$

$\begin{vmatrix} ax & ay & az \\ bx & by & bz \\ cx & cy & cz \end{vmatrix} = abc \begin{vmatrix} x & y & z \\ x & y & z \\ x & y & z \end{vmatrix} = 0$

$D = 0$

(2)

$D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ x & y & z \\ 4 & 5 & 6 \end{vmatrix} = 1(6y-5z) - 2(6x-4z) + 3(5x-4y) = 6y-5z -12x+8z + 15x -12y = 3x - 6y + 3z = 3(x-2y+z)$

(3)

$D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & x \\ 3 & 4 & y \\ 5 & 6 & z \end{vmatrix} = 1(4z-6y) - 2(3z-5y) + x(18-20) = 4z-6y-6z+10y -2x = -2x +4y -2z = -2(x-2y+z)$

3. 最終的な答え

(1) $D = 0$

(2) $D = 3(x-2y+z)$

(3) $D = -2(x-2y+z)$