ベクトル $\vec{a} = (3, -2)$ の、指定されたベクトルへの射影をそれぞれ求める問題です。 (1) $\vec{e_1} = (1, 0)$ への射影 (2) $\vec{e_2} = (0, 1)$ への射影 (3) $\vec{p} = (1, 3)$ への射影

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (3, -2)$ の、指定されたベクトルへの射影をそれぞれ求める問題です。

(1) $\vec{e_1} = (1, 0)$ への射影

(2) $\vec{e_2} = (0, 1)$ への射影

(3) $\vec{p} = (1, 3)$ への射影

2. 解き方の手順

ベクトル $\vec{a}$ のベクトル $\vec{b}$ への射影 $\vec{a'}$ は、以下の式で求められます。

$\vec{a'} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{||\vec{b}||^2} \vec{b}$

ここで、$\vec{a} \cdot \vec{b}$ は $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の内積であり、$||\vec{b}||$ は $\vec{b}$ の大きさ（ノルム）です。

(1) $\vec{a} = (3, -2)$、$\vec{e_1} = (1, 0)$ の場合

$\vec{a} \cdot \vec{e_1} = (3)(1) + (-2)(0) = 3$

$||\vec{e_1}||^2 = (1)^2 + (0)^2 = 1$

よって、

$\vec{a'} = \frac{3}{1} (1, 0) = (3, 0)$

(2) $\vec{a} = (3, -2)$、$\vec{e_2} = (0, 1)$ の場合

$\vec{a} \cdot \vec{e_2} = (3)(0) + (-2)(1) = -2$

$||\vec{e_2}||^2 = (0)^2 + (1)^2 = 1$

よって、

$\vec{a'} = \frac{-2}{1} (0, 1) = (0, -2)$

(3) $\vec{a} = (3, -2)$、$\vec{p} = (1, 3)$ の場合

$\vec{a} \cdot \vec{p} = (3)(1) + (-2)(3) = 3 - 6 = -3$

$||\vec{p}||^2 = (1)^2 + (3)^2 = 1 + 9 = 10$

よって、

$\vec{a'} = \frac{-3}{10} (1, 3) = (-\frac{3}{10}, -\frac{9}{10})$

3. 最終的な答え

(1) $(3, 0)$

(2) $(0, -2)$

(3) $(-\frac{3}{10}, -\frac{9}{10})$