線形写像 $T(x) = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix} x$ ($x \in R^3$, $T: R^3 \rightarrow R^2$) と、$R^3$ の基 $\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$、$R^2$ の基 $\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} \right\}$ が与えられたとき、この線形写像 $T$ の与えられた基に関する表現行列を求める。

1. 問題の内容

線形写像 $T(x) = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix} x$ ($x \in R^3$, $T: R^3 \rightarrow R^2$) と、$R^3$ の基 $\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$、$R^2$ の基 $\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} \right\}$ が与えられたとき、この線形写像 $T$ の与えられた基に関する表現行列を求める。

2. 解き方の手順

まず、$R^3$ の基の各ベクトルを線形写像 $T$ で写像します。

$v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, $v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}$, $v_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ とします。

$T(v_1) = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$

$T(v_2) = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 \\ 17 \end{bmatrix}$

$T(v_3) = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrix}$

次に、$T(v_1)$, $T(v_2)$, $T(v_3)$ を $R^2$ の基 $\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} \right\}$ の線形結合で表します。

すなわち、以下の式を満たす $a, b, c, d, e, f$ を求めます。

$T(v_1) = a \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$

$T(v_2) = c \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + d \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 \\ 17 \end{bmatrix}$

$T(v_3) = e \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + f \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrix}$

上記の連立一次方程式を解きます。

$a + 2b = 3$

$2a + 3b = 4$

この系を解くと $a = -1$, $b = 2$ となります。

$c + 2d = 12$

$2c + 3d = 17$

この系を解くと $c = -2$, $d = 7$ となります。

$e + 2f = 5$

$2e + 3f = 8$

この系を解くと $e = -1$, $f = 3$ となります。

したがって、表現行列は

$\begin{bmatrix} -1 & -2 & -1 \\ 2 & 7 & 3 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{bmatrix} -1 & -2 & -1 \\ 2 & 7 & 3 \end{bmatrix}$