与えられた等差数列について、一般項 $a_n$、第7項 $a_7$、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$、初項から第7項までの和 $S_7$を求める問題です。数列は2つあります。 (1) 初項 -3, 公差 6 (2) 25, 18, 11, 4, ...

1. 問題の内容

与えられた等差数列について、一般項 $a_n$、第7項 $a_7$、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$、初項から第7項までの和 $S_7$を求める問題です。数列は2つあります。

(1) 初項 -3, 公差 6

(2) 25, 18, 11, 4, ...

2. 解き方の手順

(1)

* 一般項 $a_n$ の公式は $a_n = a_1 + (n-1)d$ で、ここで $a_1$ は初項、$d$ は公差です。

$a_n = -3 + (n-1)6 = 6n - 9$

* 第7項 $a_7$ は、$a_n$ の式に $n=7$ を代入することで求められます。

$a_7 = 6(7) - 9 = 42 - 9 = 33$

* 初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ の公式は、$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ です。

$S_n = \frac{n}{2}(-3 + 6n - 9) = \frac{n}{2}(6n - 12) = 3n^2 - 6n$

* 初項から第7項までの和 $S_7$ は、$S_n$ の式に $n=7$ を代入することで求められます。

$S_7 = 3(7^2) - 6(7) = 3(49) - 42 = 147 - 42 = 105$

(2)

* 初項 $a_1 = 25$ であり、公差は $d = 18 - 25 = -7$ です。

一般項 $a_n$ の公式は $a_n = a_1 + (n-1)d$ です。

$a_n = 25 + (n-1)(-7) = 25 - 7n + 7 = -7n + 32$

* 第7項 $a_7$ は、$a_n$ の式に $n=7$ を代入することで求められます。

$a_7 = -7(7) + 32 = -49 + 32 = -17$

* 初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ の公式は、$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ です。

$S_n = \frac{n}{2}(25 + (-7n + 32)) = \frac{n}{2}(57 - 7n) = \frac{-7n^2 + 57n}{2}$

* 初項から第7項までの和 $S_7$ は、$S_n$ の式に $n=7$ を代入することで求められます。

$S_7 = \frac{-7(7^2) + 57(7)}{2} = \frac{-7(49) + 399}{2} = \frac{-343 + 399}{2} = \frac{56}{2} = 28$

3. 最終的な答え

(1)

* $a_n = 6n - 9$

* $a_7 = 33$

* $S_n = 3n^2 - 6n$

* $S_7 = 105$

(2)

* $a_n = -7n + 32$

* $a_7 = -17$

* $S_n = \frac{-7n^2 + 57n}{2}$

* $S_7 = 28$