放物線 $y=x^2+ax+b$ を原点に関して対称移動し、更にx軸方向に3、y軸方向に6だけ平行移動すると、放物線 $y=-x^2+4x-7$ が得られる。このとき、$a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y=x^2+ax+b$ を原点に関して対称移動し、更にx軸方向に3、y軸方向に6だけ平行移動すると、放物線 $y=-x^2+4x-7$ が得られる。このとき、$a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

ステップ1: 原点対称移動

放物線 $y=x^2+ax+b$ を原点に関して対称移動すると、

$x$ を $-x$ に、$y$ を $-y$ に置き換える。

$-y = (-x)^2 + a(-x) + b$

$-y = x^2 - ax + b$

$y = -x^2 + ax - b$

ステップ2: 平行移動

ステップ1で得られた放物線をx軸方向に3、y軸方向に6だけ平行移動すると、

$x$ を $x-3$ に、$y$ を $y-6$ に置き換える。

$y - 6 = -(x-3)^2 + a(x-3) - b$

$y - 6 = -(x^2 - 6x + 9) + ax - 3a - b$

$y - 6 = -x^2 + 6x - 9 + ax - 3a - b$

$y = -x^2 + (6+a)x - 9 - 3a - b + 6$

$y = -x^2 + (6+a)x - 3 - 3a - b$

ステップ3: 係数比較

ステップ2で得られた放物線 $y = -x^2 + (6+a)x - 3 - 3a - b$ が、$y=-x^2+4x-7$ と一致するので、係数を比較する。

$6+a = 4$

$-3-3a-b = -7$

ステップ4: $a, b$ の値を求める

$6+a = 4$ より、

$a = 4-6 = -2$

$-3-3a-b = -7$ に $a=-2$ を代入すると、

$-3-3(-2)-b = -7$

$-3+6-b = -7$

$3-b = -7$

$b = 3+7 = 10$

3. 最終的な答え

$a = -2$

$b = 10$