問題5：$x = \sqrt{2} + \sqrt{3}$、 $y = \sqrt{2} - \sqrt{3}$ のとき、次の式の値を求めよ。 (1) $x^2 + 2xy + y^2$ (2) $x^2 - y^2$ 問題6：$a = 3 + \sqrt{5}$ のとき、次の式の値を求めよ。 (1) $a^2 - 6a + 9$ (2) $a^2 - 4a + 3$

1. 問題の内容

問題5：$x = \sqrt{2} + \sqrt{3}$、 $y = \sqrt{2} - \sqrt{3}$ のとき、次の式の値を求めよ。

(1) $x^2 + 2xy + y^2$

(2) $x^2 - y^2$

問題6：$a = 3 + \sqrt{5}$ のとき、次の式の値を求めよ。

(1) $a^2 - 6a + 9$

(2) $a^2 - 4a + 3$

2. 解き方の手順

問題5：

(1) $x^2 + 2xy + y^2$ は $(x+y)^2$ と因数分解できます。

$x+y = (\sqrt{2} + \sqrt{3}) + (\sqrt{2} - \sqrt{3}) = 2\sqrt{2}$ なので、

$(x+y)^2 = (2\sqrt{2})^2 = 4 \times 2 = 8$

(2) $x^2 - y^2$ は $(x+y)(x-y)$ と因数分解できます。

$x+y = (\sqrt{2} + \sqrt{3}) + (\sqrt{2} - \sqrt{3}) = 2\sqrt{2}$

$x-y = (\sqrt{2} + \sqrt{3}) - (\sqrt{2} - \sqrt{3}) = 2\sqrt{3}$

したがって、 $(x+y)(x-y) = 2\sqrt{2} \times 2\sqrt{3} = 4\sqrt{6}$

問題6：

(1) $a^2 - 6a + 9$ は $(a-3)^2$ と因数分解できます。

$a - 3 = (3 + \sqrt{5}) - 3 = \sqrt{5}$ なので、

$(a-3)^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$

(2) $a^2 - 4a + 3$ は $(a-1)(a-3)$ と因数分解できます。

$a - 1 = (3 + \sqrt{5}) - 1 = 2 + \sqrt{5}$

$a - 3 = (3 + \sqrt{5}) - 3 = \sqrt{5}$

したがって、 $(a-1)(a-3) = (2+\sqrt{5})\sqrt{5} = 2\sqrt{5} + 5 = 5 + 2\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

問題5：

(1) 8

(2) $4\sqrt{6}$

問題6：

(1) 5

(2) $5 + 2\sqrt{5}$