3次方程式 $x^3 + 3x^2 - 4 = 0$ は実数解をいくつ持つか。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + 3x^2 - 4 = 0$ は実数解をいくつ持つか。

2. 解き方の手順

3次方程式 $x^3 + 3x^2 - 4 = 0$ の実数解の個数を求める。

まず、因数定理を利用して因数分解を試みる。

$x=1$ を代入すると、$1^3 + 3(1^2) - 4 = 1 + 3 - 4 = 0$ となるので、$x=1$ は解の一つ。

したがって、$x-1$ は $x^3 + 3x^2 - 4$ の因数となる。

多項式を $x-1$ で割ると、

$$$$

\frac{x^3 + 3x^2 - 4}{x-1} = x^2 + 4x + 4

$$$$

よって、$x^3 + 3x^2 - 4 = (x-1)(x^2 + 4x + 4)$ と因数分解できる。

さらに、$x^2 + 4x + 4$ は $(x+2)^2$ と因数分解できる。

したがって、$x^3 + 3x^2 - 4 = (x-1)(x+2)^2$ となる。

よって、与えられた方程式は $(x-1)(x+2)^2 = 0$ となり、実数解は $x=1$ と $x=-2$ である。$x=-2$ は重解である。

異なる実数解の個数は2個である。

3. 最終的な答え

実数解の個数は2個