3次方程式 $x^3 - 3x^2 - 9x + a = 0$ が異なる2つの実数解を持つような $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 3x^2 - 9x + a = 0$ が異なる2つの実数解を持つような $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + a$ とおく。

この3次方程式が異なる2つの実数解を持つためには、$f(x)$ が極値を持ち、極大値または極小値の一方が0になる必要がある。

$f(x)$ を微分すると、

$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$

$f'(x) = 3(x^2 - 2x - 3)$

$f'(x) = 3(x - 3)(x + 1)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 3$ または $x = -1$ のとき。

したがって、$f(x)$ は $x = 3$ と $x = -1$ で極値を持つ。

$f(3) = 3^3 - 3(3^2) - 9(3) + a = 27 - 27 - 27 + a = a - 27$

$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + a = -1 - 3 + 9 + a = a + 5$

$f(x)$ が異なる2つの実数解を持つためには、$f(3) = 0$ または $f(-1) = 0$ でなければならない。

つまり、$a - 27 = 0$ または $a + 5 = 0$ 。

よって、$a = 27$ または $a = -5$ 。

3. 最終的な答え

$a = 27, -5$