3次方程式 $x^3 - 6x + 3 = 0$ が実数解をいくつ持つか求める問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 6x + 3 = 0$ が実数解をいくつ持つか求める問題です。

2. 解き方の手順

この問題を解くには、関数の増減を調べるために微分を利用します。

まず、関数 $f(x) = x^3 - 6x + 3$ を定義します。

次に、$f(x)$ を微分します。

$f'(x) = 3x^2 - 6$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - 6 = 0$

$3x^2 = 6$

$x^2 = 2$

$x = \pm \sqrt{2}$

増減表を作成します。

| x | ... | $-\sqrt{2}$ | ... | $\sqrt{2}$ | ... |

| -------- | --------- | ------------ | --------- | ------------ | --------- |

| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | 増加 | 極大 | 減少 | 極小 | 増加 |

$f(-\sqrt{2}) = (-\sqrt{2})^3 - 6(-\sqrt{2}) + 3 = -2\sqrt{2} + 6\sqrt{2} + 3 = 4\sqrt{2} + 3$

$f(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^3 - 6(\sqrt{2}) + 3 = 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 3 = -4\sqrt{2} + 3$

$f(-\sqrt{2}) = 4\sqrt{2} + 3 > 0$

$f(\sqrt{2}) = -4\sqrt{2} + 3 < 0$

極大値が正で極小値が負なので、関数は $x$ 軸と3回交わります。したがって、実数解は3個です。

3. 最終的な答え

3個