4次方程式 $x^4 + 4x - a = 0$ が実数解をもたないような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

4次方程式 $x^4 + 4x - a = 0$ が実数解をもたないような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

$f(x) = x^4 + 4x - a$ とおく。

$f'(x) = 4x^3 + 4 = 4(x^3 + 1)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x^3 + 1 = 0$ より $x = -1$ のとき。

増減表は以下のようになる。

| x | ... | -1 | ... |

| :---- | :----- | :--- | :----- |

| f'(x) | - | 0 | + |

| f(x) | decrease | 極小 | increase |

$x = -1$ のとき、$f(-1) = (-1)^4 + 4(-1) - a = 1 - 4 - a = -3 - a$

4次方程式 $f(x) = 0$ が実数解をもたない条件は、$f(x)$ の最小値が正であること。

すなわち、$-3 - a > 0$。

したがって、$a < -3$。

3. 最終的な答え

$a < -3$