問題は、数学の問題集の一部で、以下の5つの小問から構成されています。 * $\frac{\sqrt{54}}{\sqrt{3}} + \frac{5}{\sqrt{2}}$ を計算して簡単にすること。 * $2(3x-2y)^2 - (2x+3y)(-2x+3y)$ を展開し、整理すること。 * $6x^2 - 19x - 20$ を因数分解すること。 * 方程式 $|1-5x| = 4$ の解を求めること。 * 連立不等式 $\begin{cases} 2x + 0.7 > 0.4(1-x) \\ \frac{x-5}{7} + 1 \ge \frac{x-2}{5} \end{cases}$ を解くこと。

はい、承知いたしました。問題文に沿って解答します。

1. 問題の内容

問題は、数学の問題集の一部で、以下の5つの小問から構成されています。

* $\frac{\sqrt{54}}{\sqrt{3}} + \frac{5}{\sqrt{2}}$ を計算して簡単にすること。

* $2(3x-2y)^2 - (2x+3y)(-2x+3y)$ を展開し、整理すること。

* $6x^2 - 19x - 20$ を因数分解すること。

* 方程式 $|1-5x| = 4$ の解を求めること。

* 連立不等式 $\begin{cases} 2x + 0.7 > 0.4(1-x) \\ \frac{x-5}{7} + 1 \ge \frac{x-2}{5} \end{cases}$ を解くこと。

2. 解き方の手順

* **小問1:**

まず、$\sqrt{54}$ を簡単にします。

$\sqrt{54} = \sqrt{9 \times 6} = 3\sqrt{6}$

したがって、

$\frac{\sqrt{54}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{\frac{6}{3}} = 3\sqrt{2}$

次に、$\frac{5}{\sqrt{2}}$ を有理化します。

$\frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$

したがって、

$\frac{\sqrt{54}}{\sqrt{3}} + \frac{5}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} + \frac{5\sqrt{2}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} + \frac{5\sqrt{2}}{2} = \frac{11\sqrt{2}}{2}$

* **小問2:**

まず、$2(3x-2y)^2$ を展開します。

$(3x-2y)^2 = (3x)^2 - 2(3x)(2y) + (2y)^2 = 9x^2 - 12xy + 4y^2$

$2(3x-2y)^2 = 2(9x^2 - 12xy + 4y^2) = 18x^2 - 24xy + 8y^2$

次に、$(2x+3y)(-2x+3y)$ を展開します。これは和と差の積なので、

$(2x+3y)(-2x+3y) = (3y+2x)(3y-2x) = (3y)^2 - (2x)^2 = 9y^2 - 4x^2$

したがって、

$2(3x-2y)^2 - (2x+3y)(-2x+3y) = (18x^2 - 24xy + 8y^2) - (9y^2 - 4x^2) = 18x^2 - 24xy + 8y^2 - 9y^2 + 4x^2 = 22x^2 - 24xy - y^2$

* **小問3:**

$6x^2 - 19x - 20$ を因数分解します。

$(2x-5)(3x+4)=6x^2+8x-15x-20=6x^2-7x-20$

$(2x+a)(3x+b)=6x^2+(2b+3a)x+ab=-19x-20$

$2b+3a=-19$

$ab=-20$

$a=-4, b=-5$

$(2x-5)(3x+4)$

* **小問4:**

$|1-5x| = 4$ を解きます。

$1-5x = 4$ の場合:

$-5x = 3$

$x = -\frac{3}{5}$

$1-5x = -4$ の場合:

$-5x = -5$

$x = 1$

* **小問5:**

連立不等式を解きます。

$2x + 0.7 > 0.4(1-x)$ より:

$2x + 0.7 > 0.4 - 0.4x$

$2.4x > -0.3$

$x > -\frac{0.3}{2.4} = -\frac{3}{24} = -\frac{1}{8}$

$\frac{x-5}{7} + 1 \ge \frac{x-2}{5}$ より:

$5(x-5) + 35 \ge 7(x-2)$

$5x - 25 + 35 \ge 7x - 14$

$5x + 10 \ge 7x - 14$

$-2x \ge -24$

$x \le 12$

したがって、$-\frac{1}{8} < x \le 12$

3. 最終的な答え

* 小問1: $\frac{11\sqrt{2}}{2}$

* 小問2: $22x^2 - 24xy - y^2$

* 小問3: $(2x - 5)(3x + 4)$

* 小問4: $x = -\frac{3}{5}, 1$

* 小問5: $-\frac{1}{8} < x \le 12$