3次方程式 $x^3 - 5x^2 + 4 = 0$ を解きます。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 5x^2 + 4 = 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、$x$ にいくつかの整数値を代入して、方程式を満たす解を探します。

$x=1$ を代入すると $1^3 - 5(1^2) + 4 = 1 - 5 + 4 = 0$ となり、方程式を満たします。

したがって、$x=1$ は方程式の解の一つです。

$x=1$ が解であることから、$x^3 - 5x^2 + 4$ は $x-1$ を因数に持ちます。

そこで、$x^3 - 5x^2 + 4$ を $x-1$ で割ります。

```

x^2 - 4x - 4

x-1 | x^3 - 5x^2 + 0x + 4

x^3 - x^2

----------

-4x^2 + 0x

-4x^2 + 4x

----------

-4x + 4

-4x + 4

----------

0

```

したがって、$x^3 - 5x^2 + 4 = (x-1)(x^2 - 4x - 4)$ と因数分解できます。

次に、2次方程式 $x^2 - 4x - 4 = 0$ を解きます。

解の公式を用いると、

$$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{4 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{2}$$

したがって、$x = 2 + 2\sqrt{2}$ と $x = 2 - 2\sqrt{2}$ が2次方程式の解です。

3. 最終的な答え

$x = 1, 2 + 2\sqrt{2}, 2 - 2\sqrt{2}$