3次方程式 $x^3 - 6x + 4 = 0$ の実数解の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 6x + 4 = 0$ の実数解の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x) = x^3 - 6x + 4$ を定義します。

次に、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = 3x^2 - 6$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - 6 = 0$

$3x^2 = 6$

$x^2 = 2$

$x = \pm \sqrt{2}$

$x = -\sqrt{2}$ と $x = \sqrt{2}$ が極値を取る点です。

$f(-\sqrt{2}) = (-\sqrt{2})^3 - 6(-\sqrt{2}) + 4 = -2\sqrt{2} + 6\sqrt{2} + 4 = 4\sqrt{2} + 4 > 0$

$f(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^3 - 6(\sqrt{2}) + 4 = 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 4 = -4\sqrt{2} + 4 < 0$ (なぜなら $\sqrt{2} > 1$ より $4\sqrt{2} > 4$)

極大値 $f(-\sqrt{2}) > 0$、極小値 $f(\sqrt{2}) < 0$ なので、3次方程式は3つの実数解を持ちます。

また、$f(-3) = -27 + 18 + 4 = -5 < 0$

$f(0) = 4 > 0$

$f(1) = 1 - 6 + 4 = -1 < 0$

$f(3) = 27 - 18 + 4 = 13 > 0$

よって、解は $-3$ と $0$ の間、 $0$ と $1$ の間、$1$ と $3$ の間にそれぞれ存在します。

また、 $f(2) = 8 - 12 + 4 = 0$ なので、$x=2$ は解の一つです。

$x^3 - 6x + 4 = (x-2)(x^2 + 2x - 2)$

$x^2 + 2x - 2 = 0$ の解は $x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$

よって、$x = 2, -1+\sqrt{3}, -1-\sqrt{3}$ が解です。

3. 最終的な答え

3個