与えられた多項式 $3x^2 - 2xy - y^2 + 5x + 3y - 2$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた多項式 $3x^2 - 2xy - y^2 + 5x + 3y - 2$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

与えられた多項式を因数分解するために、まず $x$ について整理する。

$3x^2 + (-2y + 5)x + (-y^2 + 3y - 2)$

次に、定数項 $-y^2 + 3y - 2$ を因数分解する。

$-y^2 + 3y - 2 = -(y^2 - 3y + 2) = -(y-1)(y-2)$

したがって、多項式は

$3x^2 + (-2y + 5)x - (y-1)(y-2)$

と書ける。

これを $(ax + by + c)(dx + ey + f)$ の形に因数分解することを試みる。

$3x^2$ の係数は3なので、$a$ と $d$ の組み合わせは $(3, 1)$ または $(1, 3)$である。

また、定数項は $-(y-1)(y-2)$ なので、$b, c, e, f$ は $y-1$ と $y-2$ を含む可能性がある。

ここでは $(3x + y + c)(x - y + f)$ の形を考える。

$(3x + y + c)(x - y + f) = 3x^2 - 3xy + 3fx + xy - y^2 + fy + cx - cy + cf$

$= 3x^2 - 2xy - y^2 + (3f + c)x + (f - c)y + cf$

与えられた多項式と比較すると、

$3f + c = 5$

$f - c = 3$

$cf = -2$

これらの連立方程式を解く。

$f = 3 + c$ を $3f + c = 5$ に代入すると、

$3(3+c) + c = 5$

$9 + 3c + c = 5$

$4c = -4$

$c = -1$

したがって、$f = 3 + c = 3 - 1 = 2$

$cf = (-1)(2) = -2$

これは条件を満たす。

$3x + y - 1$ と $x - y + 2$ を用いて因数分解すると

$(3x + y - 1)(x - y + 2) = 3x^2 - 3xy + 6x + xy - y^2 + 2y - x + y - 2$

$= 3x^2 - 2xy - y^2 + 5x + 3y - 2$

これは与えられた多項式と一致する。

3. 最終的な答え

$(3x + y - 1)(x - y + 2)$