連続する2つの奇数について、2つの奇数の積から小さい方の奇数の2倍を引いた数が、小さい方の奇数の2乗になることを証明する。ただし、$n$ を整数とし、連続する2つの奇数のうち小さい方を $2n-1$ としたとき、大きい方は何かを考え、証明を完成させる。

1. 問題の内容

連続する2つの奇数について、2つの奇数の積から小さい方の奇数の2倍を引いた数が、小さい方の奇数の2乗になることを証明する。ただし、$n$ を整数とし、連続する2つの奇数のうち小さい方を $2n-1$ としたとき、大きい方は何かを考え、証明を完成させる。

2. 解き方の手順

まず、連続する2つの奇数のうち、小さい方を $2n-1$ とすると、大きい方は $2n+1$ と表せる。

次に、2つの奇数の積から小さい方の奇数の2倍を引いた数を計算する。

$$(2n-1)(2n+1) - 2(2n-1)$$

この式を展開し、整理する。

$$4n^2 - 1 - 4n + 2$$

$$4n^2 - 4n + 1$$

これは $(2n-1)^2$ と因数分解できる。

$$(2n-1)^2$$

これは小さい方の奇数である $2n-1$ の2乗に等しい。

したがって、連続する2つの奇数の積から小さい方の奇数の2倍を引いた数は、小さい方の奇数の2乗になる。

3. 最終的な答え

連続する2つの奇数のうち小さい方を $2n-1$ とすると、大きい方は $2n+1$ となる。2つの奇数の積から小さい方の奇数の2倍を引くと、 $(2n-1)(2n+1) - 2(2n-1) = 4n^2 - 1 - 4n + 2 = 4n^2 - 4n + 1 = (2n-1)^2$ となり、これは小さい方の奇数の2乗に等しい。よって、題意は示された。