放物線 $y = x^2 - 3x + 3$ と直線 $y = x + k$ が接するとき、定数 $k$ の値を求め、さらにそのときの接点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 3x + 3$ と直線 $y = x + k$ が接するとき、定数 $k$ の値を求め、さらにそのときの接点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

放物線と直線が接するということは、それらの式を連立させた2次方程式が重解を持つということです。

まず、2つの式を連立させます。

$x^2 - 3x + 3 = x + k$

次に、これを整理して、$x$ に関する2次方程式の形にします。

$x^2 - 4x + (3 - k) = 0$

この2次方程式が重解を持つためには、判別式 $D$ が 0 になる必要があります。

判別式 $D$ は、$D = b^2 - 4ac$ で与えられます。この2次方程式の場合、$a = 1$, $b = -4$, $c = 3 - k$ です。

したがって、$D = (-4)^2 - 4(1)(3 - k) = 16 - 12 + 4k = 4 + 4k$ となります。

$D = 0$ となる条件より、$4 + 4k = 0$ を解くと、$k = -1$ となります。

このとき、2次方程式は $x^2 - 4x + 4 = 0$ となり、これは $(x - 2)^2 = 0$ と変形できます。

したがって、$x = 2$ が重解となります。

$x = 2$ を直線 $y = x + k$ に代入すると、$y = 2 + (-1) = 1$ となります。

したがって、接点の座標は $(2, 1)$ となります。

3. 最終的な答え

$k = -1$

接点の座標は $(2, 1)$