2次方程式 $3x^2 - 6x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、以下の値を求めます。 (1) $\alpha^2 + \beta^2$ (2) $\alpha^4 + \beta^4$ (3) $\alpha^3 + \beta^3$

1. 問題の内容

2次方程式 $3x^2 - 6x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、以下の値を求めます。

(1) $\alpha^2 + \beta^2$

(2) $\alpha^4 + \beta^4$

(3) $\alpha^3 + \beta^3$

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係から、$\alpha + \beta$ と $\alpha\beta$ の値を求めます。

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解を $\alpha$, $\beta$ とすると、解と係数の関係より

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha\beta = \frac{c}{a}$

今回の問題では、$a=3$, $b=-6$, $c=1$ なので、

$\alpha + \beta = -\frac{-6}{3} = 2$

$\alpha\beta = \frac{1}{3}$

(1) $\alpha^2 + \beta^2$ を求めます。

$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$

$\alpha^2 + \beta^2 = (2)^2 - 2(\frac{1}{3}) = 4 - \frac{2}{3} = \frac{12}{3} - \frac{2}{3} = \frac{10}{3}$

(2) $\alpha^4 + \beta^4$ を求めます。

$(\alpha^2 + \beta^2)^2 = \alpha^4 + 2\alpha^2\beta^2 + \beta^4$

$\alpha^4 + \beta^4 = (\alpha^2 + \beta^2)^2 - 2(\alpha\beta)^2$

$\alpha^4 + \beta^4 = (\frac{10}{3})^2 - 2(\frac{1}{3})^2 = \frac{100}{9} - 2(\frac{1}{9}) = \frac{100}{9} - \frac{2}{9} = \frac{98}{9}$

(3) $\alpha^3 + \beta^3$ を求めます。

$(\alpha + \beta)^3 = \alpha^3 + 3\alpha^2\beta + 3\alpha\beta^2 + \beta^3 = \alpha^3 + \beta^3 + 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$

$\alpha^3 + \beta^3 = (2)^3 - 3(\frac{1}{3})(2) = 8 - 2 = 6$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha^2 + \beta^2 = \frac{10}{3}$

(2) $\alpha^4 + \beta^4 = \frac{98}{9}$

(3) $\alpha^3 + \beta^3 = 6$